Математика и информатика
Методические указания и контрольные задания
для заочной формы обучения
Методические рекомендации по решению контрольной работы для заочной формы обучения.
1. Задайте множества перечислением элементов
,
.
Решение:
делителями числа 6 являются числа 1, 2,
3, 6. Тогда натуральными числами, меньшими
7 и не являющимися делителями 6 являются
4, 5, 7. Значит,
.
Рассмотрим уравнение
.
Произведение равно нулю тогда, когда
хотя бы один из множителей равен нулю,
т.е. получим три уравнения
,
,
.
Решением первого уравнения является
,
это не целое число, значит, оно не
принадлежит
.
Решением второго уравнения является
,
это число целое, поэтому принадлежит
.
У третьего уравнения два корня
,
,
которые также целые и являются элементами
.
Таким образом,
.
2.
Для
множеств А
и В
найдите
,
,
,
.
а).
,
; б).
,
.
Решение:
а). Объединением множеств
является множество, состоящее из
элементов множеств
и
,
взятых по одному разу. Значит,
.
Пересечением
является множество, составленное из
повторяющихся элементов двух множеств,
т.е.
.
Разностью множеств
является множество, содержащее элементы
множества
,
не принадлежащие множеству
,
тогда
.
Аналогично строим
.
б).
Данные числовые промежутки
,
нагляднее изобразить на числовой прямой,
при этом, если конец промежутка принадлежит
ему, то точка будет закрашенной, а если
не принадлежит, то точка – пустая.
Объединением
множеств является промежуток от начала
первого на числовой прямой множества
до конца второго
.
Пересечением множеств является их общая
часть
.
Разность множеств
- это часть множества
,
которая не принадлежит
.
При этом важно следить за концами
промежутка. В нашем случае элемент 3 не
принадлежит
,
значит, он входит в разность
.
При нахождении разности
отмечаем, что концевая точка 5 принадлежит
множеству
,
значит, этот элемент не входит в разность,
т.е.
.
3.
Представьте множество
в
виде диаграммы Эйлера.
Решение: представим все этапы построения диаграммы.
Для того чтобы построить результирующую диаграмму Эйлера для множеств , возьмем общую часть закрашенных множеств:
4. В одной семье было много детей. Семеро из них любили капусту, шестеро - морковь, пятеро - горох. Четверо любили капусту и морковь, трое - капусту и горох, двое - морковь и горох. А один охотно ел и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей было в семье?
Решение: решим эту задачу, используя формулу включений и исключений для трех множеств:
Введем следующие
обозначения для множеств
={дети,
любящие капусту},
={дети,
любящие морковь},
={дети,
любящие горох}. Тогда общее количество
детей в семье можно представить как
.
Из условия задачи следует, что
,
,
.
Кроме того,
,
,
и
.
Тогда, подставив найденные значения в
формулу включений и исключения, получим:
.
Таким образом, в семье было 10 детей.
5. На доске написаны 3 существительных, 5 прилагательных и 4 глагола. Для составления предложения можно выбрать либо существительное и глагол, либо один глагол, либо все три части речи. Сколькими способами можно составить предложение?
Решение:
существительное
и глагол можно выбрать
способами, один глагол можно выбрать
4-мя способами, три части речи можно
выбрать
.
Тогда по правилу суммы, получим, что
общее количество вариантов составить
предложение равно
.
6. Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины разного цвета, если имеется материя шести различных цветов?
Решение: так полос разного цвета необходимо три, а всего имеется 6 различных цветов материи, получаем комбинаторную конструкцию размещения без повторений.
Количество таких
размещений вычисляется по формуле
.
В данном случае
,
.
Тогда
.
7. В коробке 4 синих, 3 белых и 2 желтых фишки. Наугад из ящика вынули четыре шара. Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные: А={вынуты шары одного цвета}; В={все вынутые шары желтые}; С={среди вынутых шаров есть не красные}. Ответ обоснуйте.
Решение: событие А – случайное, так как можно вынуть четыре синих шара, но можно вынуть и шары других цветов, поэтому. данное событие может произойти или не произойти.
Событие В – невозможное, так как всего имеется 2 желтых шара, поэтому среди вынутых шаров обязательно будут и шары других цветов, значит, указанное событие не произойдет никогда.
Событие С – достоверное, так как всего красных шаров три, и даже если их всех достали, то четвертый шар обязате6льнго будет не красного цвета, т.е. это событие выполнится всегда.
8. В ящике содержится 5 белых и 6 черных шаров. Из ящика вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.
Решение:
пусть событие А
={оба вынутых шара – белые}. Данное
событие можно представить как комбинацию
более простых событий:
={первый
шар – белый},
={второй
шар – белый}, тогда
.
Воспользуемся
теоремой об умножении вероятностей:
.
Найдем каждый из множителей:
,
.
Подставим их в формулу:
.
9. На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25% всех замков, второй цех 35%, третий 40%. Брак по каждому цеху составляет соответственно 5%, 4%, 2%. Найдите вероятность того, что случайно выбранный замок является дефектным.
Решение:
обозначим через
,
,
события, состоящие в изготовлении замка
соответственно в первом, втором и третьем
цехах. Вероятности этих событий равны:
,
,
.
Вероятность того, что случайно
выбранный замок является дефектным,
найдем по формуле полной вероятности:
.
Найдем условные вероятности:
,
,
.
Тогда
.
Варианты контрольной работы заочной формы обучения. Вариант 1.
1. Задайте множества перечислением элементов
,
2.Для множеств а и в найдите , , , .
а).
,
; б).
,
.
3. Представьте множество в виде диаграммы Эйлера.
4. Учащиеся 8 «А» и 8 «Б» пошли в поход. Известно, что бутерброды с колбасой взяли 18 учеников, с сыром – 14 человек и с ветчиной – 13. Выяснилось, что с колбасой и сыром бутерброды взяли 5 школьников, с ветчиной и сыром – 6 школьников, а с ветчиной и колбасой бутербродов не взял никто. Сколько человек не взяли бутербродов, если в поход пошли 30 школьников?
5. На доске написаны 5 существительных, 8 глаголов и 3 прилагательных. Для предложения нужно выбрать существительное и глагол, либо все три части речи. Сколькими способами можно составить предложение?
6. Сколько различных слов можно составить из слова «МЕНЕДЖМЕНТ»?
7. Опыт состоит в бросании двух монет. Рассматриваются следующие события:
А – появление герба на первой монете; В – появление цифры на первой монете;
C – появление герба на второй монете; D – появление цифры на второй монете;
E – появление хотя бы одного герба; F – появление хотя бы одной цифры;
G – появление одного герба и одной цифры;
Определить, каким событиям этого списка равносильны следующие события: A+C, EF, G+E, GE.
8. В ящике содержится 8 белых и 13 черных шаров. Из ящика вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.
9.
Приборы одного наименования изготавливаются
двумя заводами. Первый завод поставляет
всех изделий, поступающих на производство,
второй
.
Надежность (вероятность безотказной
работы) прибора, изготовленного первым
заводом равна
,
второго –
.
Определить полную надежность прибора,
поступившего на производство.
Вариант 2.
1. Задайте множества перечислением элементов
,
2. Для множеств А и В найти , , , .
а).
,
; б).
,
.
3. Представьте множество в виде диаграммы Эйлера.
4. На экзамене по математике были предложены 3 задачи: одна по алгебре, одна по геометрии, одна по тригонометрии. Задачу по алгебре решили 750 человек; по геометрии – 600; по тригонометрии – 400. При этом задачи по алгебре и геометрии решили 500 абитуриентов, по алгебре и тригонометрии – 200, по геометрии и тригонометрии – 100. Известно, что 300 абитуриентов решили все задачи, а 90 человек не решили ни одной задачи. Сколько абитуриентов писали экзамен?
5. В киоске продают 5 разных видов конвертов, 8 видов марок и 4 вида блокнотов. Сколькими способами можно купить 2 предмета?
6. На полке лежат 4 одинаковых яблока, 5 одинаковых груш и 3 одинаковых апельсина. Сколькими способами их можно положить в ряд?
7. В ящике лежат 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Наугад вынимают 4 шара. Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные: А={все вынутые шары одного цвета}; В={все вынутые шары разных цветов}; С={среди вынутых шаров есть разноцветные}; D={среди вынутых шаров есть шары всех трех цветов}. Обоснуйте ответ.
8. В ящике содержится 14 белых и 12 черных шаров. Из ящика вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут черными.
9. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовленных отлично, 4 – хорошо, 2 – удовлетворительно и 1 – плохо. В экзаменационных билетах 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно – на 10 и плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил на 3 произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен плохо.