VII Соревнование молодых исследователей программы «Шаг в будущее»
в Северо-западном федеральном округе РФ.
Направление: математика
Исследовательская работа.
Аналог формулы Пика для правильных решеток.
Мошура Александра, 9 класс
Направляющая организация:
ГБОУ ЦО «СПбГДТЮ» Аничков лицей
Научный руководитель:
Бреслав Р.Б.
Санкт-Петербург 2012
Аналог формулы Пика для правильных решеток
Мошура Александра Андреевна
Россия, Санкт-Петербург
ГБОУ ЦО «СПбГДЮ» Аничков лицей, 9 класс
Краткая аннотация
Целью написания раной работы является выведение аналога формулы Пика для правильных решеток. Полученные в ходе выполнения работы, формулы могут быть применены при вычислении площади многоугольников, лежащих на плоскости с вершинами в точках пересечения линий решетки. Для выполнения поставленной цели были рассмотрены решетки, состоящие из треугольников, параллелограммов и шестиугольников. Особенное внимание было уделено последней из них. В итоге выполненной работы были получены обобщенные формулы для правильных сеток. Было выяснено, что в случае шестиугольной сетки обобщенная формула являет собой двойное неравенство, обе части которого основаны на обобщенной формуле Пика для треугольной сетки.
Аналог формулы Пика для правильных решеток
Мошура Александра Андреевна
Россия, Санкт-Петербург
ГБОУ ЦО «СПбГДЮ» Аничков лицей, 9 класс
Краткая аннотация
Легко посчитать площадь прямоугольника на клетчатой бумаге, если его вершины находятся в узлах сетки, а стороны параллельны ей. Но если требуется рассмотреть более сложный многоугольник, задача становиться почти не выполнимой, а если уж и удается вычислить площадь фигуры, то она, скорее всего, является приблизительной. Однако в этом случае на помощь может прийти формула Пика, − формула для вычисления площади многоугольников расположенных на решетке. Формула справедлива для многоугольников, вершины которых расположены в узлах клеточной сетки. Она гласит, что площадь многоугольника с вершинами в узлах равна сумме числа узлов, находящихся внутри многоугольника, половины числа узлов, находящихся на границе фигуры и минус единицы.
Целью работы является выведение аналога формулы Пика для правильных решеток.
В работе рассматриваться решетки, состоящие из параллелограммов, правильных треугольников и шестиугольников. В задаче необходимо провести сравнение узлов классической решетки и узлов рассматривающихся решеток, найти закономерность и получить из классической формулы данные необходимые для выведения обобщений формулы Пика правильных решеток. О многоугольниках же известно только количество узлов внутри фигуры и количество узлов на границе.
В итоге исследования были получены аналоги формулы Пика для правильных решеток. При изучении шестиугольной решетки было выяснено, что в данном случае обобщенная формула Пика обращается в двойное неравенство, основанное на выведенной ранее формуле для расчета площади фигур на треугольной сетке.
Аналог формулы Пика для правильных решеток
Мошура Александра Андреевна
Россия, Санкт-Петербург
ГБОУ ЦО «СПбГДЮ» Аничков лицей, 9 класс
План исследования
Целью работы является обобщение формулы Пика для геометрических решеток.
Находя площадь многоугольника на решетке, не всегда возможно вычислить ее, всего лишь подсчитав количество клеток, входящих в фигуру. В таких случаях можно воспользоваться специально выведенными формулами. В данной работе будет рассматриваться формула Пика. В работе рассматриваться решетки, состоящие из правильных треугольников, параллелограммов и шестиугольников. Формулы являться верными только для многоугольников, вершины которых лежат в узлах решетки, − точках пересечения линий сетки. О многоугольниках же известно только количество узлов внутри фигуры и количество узлов на границе.
В задаче необходимо провести сравнение узлов классической решетки и узлов рассматривающихся решеток, найти закономерность и получить из классической формулы данные необходимые для выведения обобщений формулы Пика для рассматриваемых решеток.
В ходе работы было предположено, что для треугольной решетки выполняется аналог формулы Пика, площадь многоугольников, расположенных на шестиугольной сетке, ограниченна снизу аналогом формулы Пика.
Для решения поставленной задачи требовалось:
Ознакомиться с литературой о классической формуле Пика.
Провести сравнение узлов треугольной сетки и узлов клетчатой сетки.
Проверить на примере простых треугольников верно, ли обобщение формулы Пика, выведенное для треугольной решетки, для шестиугольной решетки.
Ознакомиться с литературой о триангуляции многоугольника и доказать, что любой треугольник на решетке можно поделить на простые треугольники− треугольники, в состав которых входит 3 узла на границе и ни одного внутри.
Ограничить снизу площадь простого треугольника на шестиугольной решетке.
Рассмотрев примеры понять, будет ли ограничена сверху площадь простого треугольника. В результате была выдвинута гипотеза, что площадь ограничена сверху и встала задача получить оценку площади, используя расширенную решётку.
Из полученных для простых треугольников оценок вывести неравенство для произвольного многоугольника.
Библиография.
При написании работы были изучены статьи из журнала «Квант», в которых подробно описывается доказательство классической формулы Пика и приведен ряд задач основанных применении формулы Пика. Все начальные данные, помогающие подробно изучить данный вопрос, были получены из статей данного журнала. Впоследствии была найдена статья «A new Pick−type theorem on the hexagonal lattice.» рассматривающая непосредственно выведение обобщения формулы Пика для шестиугольной решетки. Однако формула, выведенная в данной работе, работает не во всех случаях и использует дополнительные характеристики узлов.
Н.Б.Васильев. Вокруг формулы Пика.//Квант.—1974.—№12. —стр. 39−43.
R.Ding, K.Kolodziejczyc, J. Reay. A new Pick−type theorem on the hexagonal lattice.// Discrete Mathematics. —1988. —№68.—стр. 171−176
Теорема Пика. Нахождение площади решетчатого многоугольника. 1 Jun 2008 .http://e−maxx.ru/algo/pick_grid_theorem
Аналог формулы Пика для правильных решеток
Мошура Александра Андреевна
Россия, Санкт-Петербург
ГБОУ ЦО «СПбГДЮ» Аничков лицей, 9 класс
Научная статья