3.2. Основные формулы комбинаторики

Определение 1. Различные группы по m предметов, составленные из n однородных предметов (m,n), называются соединениями. Предметы, из которых составляют различные соединения, называют элементами.

Существует 3 вида соединений: размещения, перестановки, сочетания.

Определение 2. Размещениями по m элементов из данных n элементов (m≤n) называют такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо их порядком. Например, размещениями из трех предметов a, b и c по два будут следующие соединения: ab, ac, bc, ca, cb, ba. Число размещений из данных n элементов по m обозначают символом А_n^m=n(n-1)(n-2)·....·(n-m+1).

Пример. А₁₀⁴=10·9·8·7=5040.

Определение 3. Перестановками из n элементов называют такие со­единения, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Р_n=А_nⁿ=n(n-1)(n-2)...·3·2·1=n! По определению 0!=1.

Пример. Р₅=5!=1·2·3·4·5=120.

Определение 4. Сочетаниями из n элементов по m называются также соединения, которые отличаются друг от друга, по меньшей мере, одним элементом и каждое из которых содержит m различных элементов:

C_n^m= = =

Пример. Найти число сочетаний из 10 элементов по четыре.

Решение. C₁₀⁴= =210.

Пример. Найти число сочетаний из 20 элементов по 17.

Решение. = =1040.

3.3. Теоремы теории вероятностей

3.3.1. Теорема сложения вероятностей

Теорема 1. Вероятность наступления одного какого-либо события из двух несовместимых событий А и В равно сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Пример. В урне 5 красных, 7 синих и 8 белых шаров, перемешанных между собой. Какова вероятность того, что взятый наугад один шар окажется не красным?

Решение. Не красный шар - это или белый или синий шары. Вероятность появления белого шара (событие А) равна Р(А)= 8/20 = 2/5. Вероятность появления синего шара (событие В) равна Р(В)= 7/20. Событие, состоящее в появлении не красного шара, означает появление или А или В, т.к. события А и В несовместимы, то применима теорема 1. Искомая вероятность будет равна Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=2/5+ +7/20=3/4.

Теорема 2. Вероятность наступления одного из двух событий A или B равно сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления P(A+B)=P(A)+P(B)+P(AB).

3.3.2. Теорема умножения вероятностей

Определение 1. Два события A и B называются независимыми друг от друга, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого.

Пример. Пусть A - событие, состоящее в появлении герба при пер­вом бросании монеты, а B - событие, состоящее в появлении герба при втором бросании монеты, то события A и B не зависят друг от друга, т.е. результат первого бросания монеты не может изменить вероятность появления герба при втором бросании монеты.

Определение 2. Два события A и B называются зависящими друг от друга, если вероятность одного из них зависит от наступления или ненаступления другого.

Пример. В урне 8 белых и 7 красных шаров, перемешанных между собой. Событие A - появление белого шара, а событие B - появление красного шара. Будем брать из урны наугад два раза по одному шару, не возвращая их обратно. До начала испытания вероятность появления события A равна P(A)=8/15, и вероятность события B равна P(B)=7/15. Если предположить, что в первый раз был взят белый шар (событие A), то вероятность появления события B при втором испытании будет P(B)=7/14=1/2. Если в первый раз был взят красный шар, то вероятность появления красного шара при втором извлечении равна P(B)=6/14=3/7.

Определение 3. Вероятность события B, вычисленная в предположении, что перед этим наступило связанное с ним событие A, называется условной вероятностью события B и обозначается PA(B).

Теорема 3. Вероятность совместного наступления двух зависимых событий (A и B) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло, т.е. P(AB)=P(A)·P_A(B)=P(B)·P_B(A).

Теорема 4. Вероятность совместного наступления нескольких зависимых событий равно произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных событий, вычисленные в предполо­жении, что все предыдущие события уже наступили:

P(A₁A₂A₃...A_k)=P(A₁)·P_A1(A₂)·P_A1A2·P(A₃)...·P_{A1A2…A k-1} (A_k)

Теорема 5. Вероятность совместного наступления двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий P(AB)=P(A)·P(B).

Теорема 6. Вероятность совместного наступления нескольких независимых событий A₁, A₂, ... A_k равна произведению их вероятностей, т.е. P(A₁A₂...A_k)=P(A₁)·P(A₂)·...·P(A_k).

Пример. Два стрелка делают одновременно по одному выстрелу в одну цель. Какова вероятность того, что оба попадут, если известно, что первый стрелок в среднем дает 7 попаданий, а второй 8 попаданий на каждые 10 выстрелов? Какова вероятность поражения мишени?

Решение. Вероятность попадания первого стрелка (событие A) равна P(A)=0,8, вероятность попадания второго стрелка (событие B) равна P(B)=0,7. События A и B независимы друг от друга, поэтому вероятность совместного наступления этих событий (совместное попадание в цель) найдем по теореме умножения для независимых событий: P(AB)=P(A)P(B)=0,8·0,7=0,56.

Вероятность поражения мишени означает попадание в мишень хотя бы одного стрелка. Так как попадание в мишень первого и второго стрелков являются событиями совместными, то применение теоремы сложения вероятностей для совместных событий дает следующий результат:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=0,8+0,7- 0,8·0,7=0,94.