Часть 3. Основы теории вероятностей и математической статистики

3.1. Основные понятия теории вероятностей

Предметом изучения теории вероятностей являются количественные закономерности однородных случайных явлений массового характера.

Определение 1. Событием называется всякий возможный факт, о котором можно сказать, что он произойдет или не произойдет в данных условиях.

Пример. Готовые ампулы, сошедшие с конвейера, могут оказаться либо стандартными, либо нестандартными. Один (любой) исход из ука­занных двух возможных называются событием.

Различают три вида событий: достоверные, невозможные и случайные.

Определение 2. Достоверным называют то событие, которое при соблюдении некоторых условий не может не произойти, т.е. обязательно произойдет.

Пример. Если в урне содержатся только белые шары, то взятый наудачу из урны шар будет обязательно белый. В данных условиях факт появления белого шара будет достоверным событием.

Определение 3. Невозможным называют то событие, которое при соблюдении некоторых условий не может произойти.

Пример. Нельзя извлечь белый шар из урны, содержащей только черные шары. В этих условиях факт появления белого шара будет не­возможным событием.

Определение 4. Случайным называют событие, которое в одних и тех же условиях может произойти, но может и не произойти.

Пример. Монета, брошенная вверх, может упасть так, что на ее верхней стороне окажется либо герб, либо цифра. Здесь появление сверху той или другой стороны монеты является случайным событием.

Определение 5. Испытание - совокупность тех условий или действий, которые могут быть повторены бесконечное число раз.

Пример. Подбрасывание монеты вверх - испытание, а возможный результат, т.е. выпадение на верхней стороне монеты либо герба, либо цифры является событием.

Определение 6. Если события A_i таковы, что при некотором данном испытании может произойти только одно из них и никаких других, не входящих в совокупность, то эти события называются единственно возможными.

Пример. В урне лежат белые и черные шары и никаких других. Взятый наугад один шар может оказаться белым или черным. Эти события являются единственно возможными, т.к. появление шара другой окраски при данном испытании исключено.

Определение 7. Два события A и B называются несовместными, если при данном испытании они не могут произойти вместе.

Пример. Герб и цифра являются единственно возможными и несов­местимыми событиями при однократном бросании монеты.

Определение 8. Два события A и B называются совместными (совместимыми) при данном испытании, если появление одного из них не исключает возможность появления другого события при том же испытании.

Пример. Возможно совместное появление орла и цифры при одном бросании двух монет.

Определение 9. События A_i называются равновозможными в данном испытании, если в силу симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является более возможным по сравнению с другими.

Пример. Появление любой грани при одном бросании игральной кости является равновозможным событием (при условии, если кость сделана из однородного материала и имеет форму правильного шестигранника).

Определение 10. События называются благоприятствующими (благоприятными) некоторому событию, если появление одного из этих события влечет появление данного события. Случаи, исключающие появление события, называются неблагоприятствующими этому событию.

Пример. В урне имеется 5 белых и 7 черных шаров. При взятии наугад одного шара, в руках может оказаться или белый или черный шар. В данном случае появление белого шара благоприятствует 5 случаев, а появлению черного шара 7 случаев из общего количества 12 возможных случаев.

Определение 11. Два единственно возможных и несовместимых событий называют противоположными друг другу. Если одно из этих событий обозначено A, то противоположное ему событие обозначают символом Ā.

Пример. Попадание в цель и промах; выигрыш и проигрыш по билету лотереи - все это примеры противоположных событий.

Определение 12. Если в результате какой-либо массовой операции, состоящей из n сходных между собой единичных опытов или наблюдений (испытаний), некоторое случайное событие появится m раз, то число m называют частотой случайного события, а отношение m/n называется его частостью.

Пример. Среди первых 20 изделий, сошедших с конвейера, оказалось 3 изделия нестандартных (брак). Здесь число испытаний n=20, частота брака m=3, частость брака m/n = 3/20 = 0,15.

Всякое случайное событие в заданных условиях имеет свою объективную возможность появления, причем у одних событий эта возможность появления больше, у других - меньше. Для количественного сравнения между собой событий по степени возможности их наступления с каждым случайным событием связывают некоторое действительное число, выражающего количественную оценку степени объективной воз­можности наступления данного события. Это число называют вероятностью события.

Определение 13. Вероятность некоторого события есть числовая мера объективной возможности наступления этого события.

Определение 14. (Классическое определение вероятности). Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих наступлению этого события, к числу n всех возможных случаев, т.е. Р(А) = m/n.

Пример. Урна содержит 5 белых и 7 черных шаров, тщательно перемешанных. Какова вероятность того, что взятый наудачу из урны один шар окажется белым?

Решение. В данном испытании имеется всего 12 возможных случаев, из них 5 благоприятствуют появлению белого шара. Поэтому вероятность появления белого шара Р=5/12.

Определение 15. (Статистическое определение вероятности). Если при достаточно большом числе повторных испытаний по отношению к некоторому событию А будет замечено, что частость события колеблется около некоторого постоянного числа, то событие А имеет вероятность Р(А), приближенно равную частости, т.е. Р(А)~m/n. Час­тость события при неограниченном числе испытаний называют статистической вероятностью.

Основные свойства вероятности.

1⁰ Если событие А влечет за собой событие В (АВ), то вероятность события А не превосходит вероятности события В. Р(А)≤Р(В)

2⁰ Если события А и В равносильны (АB, ВА, В=А), то их вероятности равны Р(А)=Р(В).

3⁰ Вероятность любого события А не может быть отрицательным числом, т.е. Р(А)≥0

4⁰ Вероятность достоверного события  равна 1. Р()=1.

5⁰ Вероятность невозможного события  равна 0. Р()=0.

6⁰ Вероятность любого случайного события А заключена между нулем и единицей 0<Р(А)<1