3.4.3. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X в заданный интервал

Определение 9. Распределение вероятностей случайной непрерывной величины X называется нормальным, если плотность вероятности описывается формулой:

, где μ - математическое ожидание, σ - среднее квадратическое отклонение.

Определение 10. Нормальное распределение с параметрами μ = 0,σ = 1 называется нормированным или стандартным. Плотность вероятности нормированного нормального распределения описывается следующей формулой: .

Значения данной функции для неотрицательных значений затабулированы. В силу четности функции φ(x) значения для отрицательных чисел легко определить φ(-x)= φ(x).

Пример. Математическое ожидание нормального распределенной случайной величины X равно μ=3 и среднее квадратическое отклонение σ =2. Написать дифференциальную функцию X.

Решение. f(x)=

Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то вероятность ее попадания в интервал (a,b) определяется следующим образом:

P(a<x<b) = dx=F(b)-F(a).

Введя новую переменную t=(x-μ)/σ, получим общую формулу для нахождения вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал:

P(a<x<b) = P(α<t<β) =

где - интегральная функция распределения нормированной нормальной величины.

Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10,50).

Решение. a=10, b=50, σ =10, μ=30

P(10<x<50) = =2Ф(2)

Из таблицы находим Ф(2) = 0,4772 и окончательно имеем P(10<x<50) = 2·0,4772 = 0,9544

3.5. Элементы математической статистики

3.5.1. Выборочный метод

Определение 1. Генеральной совокупностью называют множество объектов, однородных относительно некоторого признака, из которого производится выборка.

Определение 2. Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Определение 3. Объемом совокупности (генеральной или выборочной) называют число объектов этой совокупности.

Определение 4. Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Определение 5. Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Определение 6. Выборка называется репрезентативной, если каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, и если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Определение 7. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Чаще всего выборки задаются в виде статистического ряда. Различают дискретный и интервальный статистические ряды.

Дискретный статистический ряд задается таблицей, в которой указываются варианты (x_i), частоты (m_i) и относительные частоты их встречаемости. Графическое изображение дискретного статистического ряда называется полигоном частот (относительных частот).

xi	x1	x2	x3	.	.	.	xk
mi	M1	m2	m3	.	.	.	mk
*	*	*	*				*
pi	p1	p2	p3	.	.	.	pk

И нтервальный статистический ряд для случайных непрерывных величин и для случайных дискретных величин при больших объемах выборок. Интервальный ряд представляет собой таблицу, в которой указаны частичные интервалы (∆x_i), плотности частот (m_i/∆x_i) и плотности относительных частот. Графическое изображение интервального статистического ряда называется гистограммой.

xi	∆x1	∆x2	∆x3	.	.	.	∆xk
mi	m1	m2	m3	.	.	.	mk
mi/∆xi	m1/∆x1	m2/∆x2	m3/∆x3	.	.	.	mk/∆xk
pi/∆xi	p1/∆x1	p2/∆x2	p3/∆x3	.	.	.	pk/∆xk

5.5.2. Статистические оценки генеральных параметров

Статистической оценкой неизвестного параметра называют функцию выборки. Оценки бывают точечными (оценка одним числом) и интервальными (оценка двумя числами, являющимися концами интервала).

Статистическая оценка должна удовлетворять трем требованиям:

1) несмещенность (математическое ожидание точечной оценки θ* равно оцениваемому параметру θ при любом объеме выборки, т.е. M(θ*)=θ).

2) эффективность (при заданном объеме выборки n оценка имеет минимально возможную дисперсию).

3) состоятельность (статистическая оценка при n→∞ стремится по вероятности к оценивающему параметру).

Определение 8. Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности: x_Г= (x₁+x₂...+x_N)/N. N - объем генеральной совокупности.

Определение 9. Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности:

= = или = = ;

где n = - объем выборки, m_i - частота варианты x_i.

Определение 10. Генеральной дисперсией D_Г называют среднее арифметическое значение квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения x_Г.

D_Г= , или D_Г =

Определение 11. Выборочной дисперсией D_B называют среднее арифметическое значение квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения x_B.

D_B= или D_B=

Определение 12. Генеральным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из генеральной дисперсии σ_Г= .

Определение 13. Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии σ_В= .

Пример. Выборочная совокупность задана таблицей распределения. Найти выборочную дисперсию.

Xi	1	2	3	4
ni	20	15	10	5

Решение. Выборочная средняя: X_B= = =50.

Выборочная дисперсия: D_B= =1

Выборочная дисперсия D_в является смещенной оценкой генеральной дисперсии D_г, поэтому оценка D_г величиной D_в всегда приводила бы к систематическим ошибкам. Устраняется этот факт введением понятия "исправленной" выборочной дисперсии:

S²= D_B= = ,

которая является несмещенной оценкой генеральной дисперсии D_Г.

Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют "исправленное" среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из "исправленной" дисперсии.

S=