3.4.1. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

1) Математическое ожидание.

Определение 3. Математическое ожидание случайной дискретной величины X с конечным числом значений называется сумма произведений возможных ее значений на их вероятности:

M(X) =μ= x₁p₁ + x₂p₂ +...+ x_np_n = .

Вероятности всех значений случайной дискретной величины удовлетворяют условию нормировки:

Свойства математического ожидания.

1⁰ Математическое ожидание постоянной (неслучайной) величины С равно самой постоянной M(C)=C.

2⁰ Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий слагаемых M(X₁ ± X₂ ±...± X_n) = M(X₁) ± M(X₂) ±…± M(X_n).

3⁰ Константу можно вынести за знак математического ожидания M(CX)=CM(X).

4⁰ Математическое ожидание произведения нескольких независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин: M(X₁X₂...X_n) = M(X₁)M(X₂)...M(X)_n.

2) Дисперсия дискретной случайной величины.

Определение 4. Дисперсией случайной дискретной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания.

D(X) = M{[X-M(X)]²} = , где M(X) = μ

Для вычисления дисперсии более удобна формула: D(X)=M(X²)-[M(X)]², т.е. дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом ее математи­ческого ожидания.

Свойства дисперсии.

1⁰ Дисперсия постоянной величины равна нулю D(С) = 0.

2⁰ Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(CX) = C²D(X).

3⁰ Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X₁+...+X_n) = D(X₁)+...+D(X_n).

4⁰ Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D(X-Y)=D(X)+D(Y).

3). Среднее квадратическое отклонение

Определение 5. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии σ(X)= .

Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

X	1	2	5
p	0,3	0,5	0,2

Решение. Найдем математическое ожидание: M(x)=1·0,3+2·0,5+5·0,2=2,3. Найдем все возможные значения квадрата отклонения.

[x₁-M(x)]²=(1-2,3)²=1,69 [x₂-M(x)]²=(2-2,3)²=0,09 [x₃-M(x)]²=(5-2,3)²=7,29

Напишем закон распределения квадрата отклонения

[xi-M(x)]2	1,69	0,09	7,29
Pi	0,3	0,5	0,2

Найдем дисперсию: D(x)=1,69·0,3+0,09·0,5+7,29·0,2=2,01.

3.4.2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Определение 6. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Определение 7. Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше x, т.е. F(x)=P(X<x).

Свойства интегральной функции распределения

1⁰ Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку 0≤F(x) ≤1.

2⁰ Функция распределения есть неубывающая функция.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (a,b), равна приращению ее интегральной функции распределения на этом интервале P(a<x<b)=F(b)-F(a).

Следствие 2. Вероятность того, что случайная непрерывная величина X примет одно определенное значение равна нулю P(X=x₁)=0.

3⁰ Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (a,b), то F(x)=0 при x≤a и F(x)=1 при x≥a.

Определение 8. Дифференциальной функцией распределения f(x) (или плотностью вероятности) называется производная от интегральной функции f(x)=F'(x).

Интегральная функция является первообразной для дифференциальной функции, поэтому вероятность того, что случайная непрерывная величина x примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), определяется равенством: P(a<x<b)= =F(b)-F(a)Зная дифференциальную функцию, можно найти функцию распределения: F(x)=

Свойства дифференциальной функции распределения

1⁰ Дифференциальная функция распределения есть функция неотрицательная f(x) ≥0

2⁰ Несобственный интеграл от дифференциальной функции распределения равен единице (условие нормировки): .

1) Математическое ожидание.

Математическим ожиданием случайной непрерывной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку (a,b), называется определенный интеграл:

M(X)= , где f(x)-плотность вероятности случайной величины X.

2) Дисперсия.

Дисперсия непрерывной случайной величины X есть математическое ожидание квадрата отклонения зтой величины от ее математического жидания D(X) = M{[X - M(X)]²}.Следовательно, если возможные значения случайной величины X принадлежат отрезку (a;b), то

D(x)= или

D(x)=

3) Среднее квадратическое отклонение определяется так: σ(x) =

Пример. Найти дисперсию случайной величины X, заданной интегральной функцией

F(x)=

Решение. Найдем дифференциальную функцию:

f(x)=F^’(x)=

Выислим математическое ожидание M(x) = .

Найдем искомую дисперсию D(x) = = = 2/4 =4/3.