3.3.3. Формула полной вероятности

Определение 4. Если при некотором испытании может произойти одно какое-либо событие из нескольких несовместных A₁,A₂,...,A_k, и при этом никаких других событий быть не может, но одно из указанных событий обязательно произойдет, то группу событий A₁,A₂,...,A_k называют полной группой событий.

Теорема 7. Сумма вероятностей событий, образующих полную груп­пу, равна единице: P(A₁)+P(A₂)+...+P(A_k)=1.

Следствие. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P(A)+P(A)=1.

Если вероятность одного события обозначим через p, вероятность противоположного ему события обозначим через q, тогда p+q=1.

Пример. Вероятность попадания в цель равна 0,94. Найти вероят­ность непопадания.

Решение. Попадание в цель и непопадание являются противополож­ными событиями, поэтому, если p=0,94, то q=1-p=1-0,94=0,06.

Теорема 8. Если случайные события A₁,A₂...A_n образуют полную систему, и если событие B может осуществляться только совместно с каким-нибудь одним из этих событий, то вероятность наступления события B можно определить по формуле:

P(B)=P(A₁)P_A1 (B)+P(A₂)P_A2 (B)+...+P(A_n)P_{A n}(B)

Это равенство называется формулой полной вероятности.

Пример. На склад готовой продукции поступили изделия из трех цехов, в том числе: 30% из I-го цеха, 45% из II цеха и 25% из III цеха. Среди изделий I цеха брак составляет 0,6%, по II цеху 0,4% и по III цеху-0,16%. Какова вероятность того, что взятое наугад для контроля одно изделие окажется с браком?

Решение. Одно изделие может быть взято или из продукции I цеха (событие A₁), или из продукции II цеха (событие A₂), или из продукции III цеха (событие A₃). Вероятности этих событий будут:

P(A₁)=0,30; P(A₂)=0,45; P(A₃)=0,25.

Вероятность того, что изделие с браком (событие B) будет взято из продукции I цеха, есть условная вероятность P_A1(B). Она равна P_A1(B)=0,006. Вероятность того, что изделие с браком будет взято из продукции II цеха P_A2(B)=0,004 и из продукции III цеха P_A3(B)=0,0016.

Теперь по формуле полной вероятности найдем вероятность того, что взятое наугад одно изделие будет с браком:

P(B)=P(A₁)P_A1(B)+P(A₂)P_A2(B)+...+P(A₃)P_A3(B) = 0,3·0,006+0,45·0,004+0,25·0,0016=0,004.

3.3.4. Формула Бернулли

Теорема 9. Пусть производится n независимых повторных испытаний по отношению к некоторому событию A. Пусть вероятность появления этого события в каждом отдельном испытании остается неизменно равной p, а вероятность появления противоположного события Ā, есть q.

Тогда вероятность появления интересующего нас события A равно m раз при указанных n испытаниях рассчитывается по формуле Бернулли:

P_{m, n}= p^m q^n-m , так как , то P_m,n= ·p^m·q^n-m

Пример. Коэффициент использования станка в среднем равен 0,8. В цехе имеется 5 станков. Какова вероятность того, что в некоторый момент времени окажутся работоспособными только 3 станка?

Решение. Задача подходит под схему повторных испытаний и решается по формуле Бернулли: n=5, m=3, p=0,8 и q=1-0,8=0,2: P_3,5= (0,8)³·(0,2)²=0,2084.

3.4. Случайные величины и их числовые характеристики

Определение 1. Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта принимает одно значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Определение 2. Дискретной называется случайная величина, которая может принимать лишь отдельные, изолированные друг от друга значения.

Случайная дискретная величина задается законом распределения, связывающим принимаемые ею значения x_i и вероятности их принятия p_i. Закон распределения чаще всего задается в табличной форме. Графическое представление закона распределения случайной дискретной величины называется многоугольником распределения.