9

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Курский государственный технический университет

КАФЕДРА КОНСТРУИРОВАНИЯ И ТЕХНОЛОГИИ ЛЕКТРОННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СРЕДСТВ

Лабораторная работа № 15

Туннельный эффект в вырожденном

p-n ПЕРЕХОДЕ

Выполнили студенты гр. КС-12 Поветкин Р. А.

Ефимов Р. О.

Проверил преподаватель Кочура А. В.

КУРСК 2003

1. Цель работы

Изучение элементов теории туннельного эффекта; исследование проявлений туннельного эффекта в туннельном диоде.

2. Теоретическая часть

2.1. Уравнение Шредингера

Пусть в некоторой области пространства имеется потенциальный барьер конечной высоты Е_ро и ширины (рис. 2.1, а). Тогда, по классическим представлениям, частица с энергией Е>Е_ро всегда преодолевает барьер, а частица с энергией, меньшей Е_ро, от него зеркально отражается.

В действительности существуют отличные от нуля вероятности отра­жения частицы с энергией Е>Е_ро и проникновения (туннелирования) частиц с энергией Е<Е_ро.

Туннельный эффект может быть количественно ис­следован путем решения основного уравнения квантовой механики - уравнения Шредингера - с использованием свойств непрерывности волновой функции и ее производных в местах скачка потенциальной функции.

Общее решение стационарного уравнения Шредингера в одномерной, как на рис. 2.1,а, задаче

(2.1)

где Е_р(х)— потенциальная функция, имеет вид

а волновое число k определяется из выражения

В различных областях пространства (области 1, 2 и 3 на рис. 2.1 ,а) уравнению (2.1) удовлетворяют различные волновые функции. Учитывая, что волновая функция испытывает «отражение» только в местах разрыва потенциальной функции Е_р(х), получаем следующие решения:

(2.2)

где

Факт «отражения» учитывается вторыми слагаемыми в выражениях (2.2). Эти члены можно интерпретировать как плоские волны, движущиеся в отрицательном направлении оси х. В выражении (2.2) коэффициент В₃=0, поскольку в области 3 отсутствует физическая причина для «отражения». Использовав граничные условия

п олучим следующие волновые функции в областях 1, 2 и 3 (с точностью до постоянного множителя А₁):

Рис.2.1

(2.3)

где ik, ^* -ik.

Для дальнейшего анализа можно упростить выражения (2.3), приняв во внимание, что вероятность прохождения частиц сквозь потенциальный барьер невелика. Положив в ( 2.3) exp(-l)<<exp(l ), получим

(2.4)

Анализ выражений (2.4) показывает, что частица с энергией E<E_p0, движущаяся слева в сторону потенциального барьера, может быть обнаружена как внутри барьера (область 2), так и справа от него (область 3). Количественно эффект туннелирования можно оценить, вычислив плотность вероятности w^* обнаружения частиц в каждой из областей пространства. Таким образом, получаем

(2.5)

Из выражения (2.5) видно, что вероятность туннельного прохождения частицей потенциального барьера существенно зависит от энергии частицы и ширины потенциального барьера. Качественные представления о виде функций (2.5) можно получить из рис.2.1, б. Вероятность туннелирования частиц принято характеризовать коэффициентом прохождения (коэффициентом прозрачности) потенциального барьера, который определяется отношением квадратов модулей волновой функции ₃ и первого слагаемого из ₁, описывающего падающую на барьер волну. Коэффициент прозрачности барьера описывается выражением

(2.6)

Туннельный эффект составляет физическую основу действия обширного класса полупроводниковых приборов туннель­ных диодов (ТД). Принцип работы ТД можно пояснить с использованием представлений о зонной энергетической структуре твердого тела. В процессе образования твердого тела электронные энергетические ypoвни отдельных атомов из-за взаимодействия электронов смещаются и образуют энергетические полосы (разрешенные зоны}, чередующиеся с зонами энергий, значений которых электроны при­нимать не могут (запрещенными зонами}. Энергетическая ширина как разрешенной, так и запрещенной зоны имеет порядок ~10^-19 Дж. Энергетический зазор между отдельными уровнями разрешенной зо­ны около 10^-41 Дж, поэтому обычно считают, что энергетический спектр электронов внутри разрешенной зоны практически непреры­вен. Наиболее сильно расщепляются энергетические уровни валентных электронов, образуя так называемые валентную зону и зону проводимости.

Многие электрофизические свойства твердых тел связаны с электро­нами в частично заполненных зонах, так как в пределах этих зон электроны могут изменять свою энергию код действием внешних факторов и способны, в частности, участвовать в процессе электро­проводности.

Вероятность заселения электронами энергетических уровней в зонах определяется статистикой Ферми—Дирака, описывающей энерге­тическое распределение частиц, подчиняющихся принципу Паули. Вероятность того. что состояние с энергией Е при температуре Т занято электроном, определяется функцией Ферми

В еличину E_F называют энергией (уровнем) Ферми. Легко видеть, что при T=0 К функция w(Е, 0)=1, если Е<Е_F, и равна нулю, если Е>Е_F. При любой другой температуре энергия Ферми совпадает с энергией того уровня, вероятность заполнения которого равна 0,5.

Рис.2.2

Если бы энергетические уровни в зоне были распределены равномерно, число электронов, имеющих энергию Е_i, в небольшом интервале dЕ, определялось бы из функции Ферми (заштрихованная площадь на рис. 2.2, а). Однако вблизи дна зоны проводимости энергетиче­ские уровни расположены реже, чем в ее верхней части. Распределе­ние энергетических уровней характеризуют функцией D(E) - плотно­стью энергетических состояний. С хорошим приближением считается, что D(E) имеет вид

(2.7)

где m - масса (эффективная) электрона; Е_c - энергия, соответствую­щая дну зоны проводимости. Плотность заполнения электронами уровней энергетической зоны описывается функцией распределения

(2.8)

ее график изображен на рис. 2.2, б.

Общая концентрация электронов в зоне пропорциональна заштрихо­ванной площади на рис. 2.2, б. Аналогичные результаты справедли­вы и для материала с дырочной проводимостью, с тем отличием. что энергия отсчитывается от значения Е_v (энергии потолка валентной зоны) в сторону убывания.

При контакте материалов с различным типом электропроводности образуется p-n-переход. Если материалы отно­сятся к вырожденным полупроводникам, при малой толщине пере­хода (~10^-8 м) возникают условия, благоприятствующие туннелированию носителей сквозь потенциальный барьер p-n-перехода. В вырожденных полупроводниках уровень Ферми находится не в запре­щенной зоне, а смещен в полупроводнике n-типа в зону проводимости. объединенную с так называемой примесной зоной, образую­щейся из энергетических уровней доноров при их высокой концент­рации (~ 10²⁴-10²⁶ м^-3). В вырожденном полупроводнике n-типа уровень Ферми находится в верхней части валентной зоны, объеди­ненной с примесной зоной акцепторов.

Процесс формирования вольтамперной характеристики туннельного диода можно проследить по рис. 2.3 и 2.4. Если напряжение на диоде равно нулю, ток через диод также равен нулю, так как число переходов электронов слева и справа на рис. 2.3, а одинаково. При приложении к диоду прямого напряжения (рис. 2.3, б) энергетические уровни в р-области смещаются вниз в сравнении с уровнями в n-области; границы зон сближаются. Число переходов электронов из n-области в р-область увеличивается, так как большей плотности занятых состояний в n-области соответствует большая плотность сво­бодных состояний («дырок») в р-области; одновременно уменьшает­ся число переходов электронов из р-области в n-область (рис. 2.4). Ток увеличивается (рис. 2.5) до тех пор, пока не произойдет совпа­дение максимумов функций распределения (черные точки на рис. 2.4); дальнейшее увеличение прямого напряжения вызывает умень­шение туннельного тока. По достижении напряжения U_min (совпа­дение границ зоны проводимости и валентной) туннельные переходы прекращаются, так как против занятых электронами уровней нахо­дятся запрещенные энергетические состояния. Отличие от нуля тока I_min (рис. 2.5) и дальнейшее увеличение прямого тока по мере воз­растания напряжения объясняются механизмом инжекции носите­лей зарядов.

Зонная диаграмма туннельного диода при обратном смещении по­казана на рис. 2.3, в.

Рис.2.3

Р ис. 2.4