1. Системы массового обслуживания

Большое количество производственных задач и ситуаций может быть описано системами массового обслуживания. Работа системы массового обслуживания заключается в обслуживании большого количества требований.

Требование - запрос на удовлетворение какой-либо потребности.

Обслуживание – удовлетворении потребности.

Средство, осуществляющее обслуживание потока требований, называют обслуживающим аппаратом, а их совокупность - обслуживающей системой.

Схематическое изображение системы массового обслуживания показано на рис. Х.1, а примеры систем массового обслуживания даны в табл. X. 1.

Совокупность требований на обслуживание представляет - входящий поток, а обслуженные требования - выходящий. Требования на обслуживание образуют очередь, а порядок, в котором они поступают на обслуживание и покидают очередь, называется дисциплиной очереди. Очередь является упорядоченной, если требования на обслуживание попадают в порядке поступления, и неупорядоченной - если требования обслуживания в случайном порядке. Кроме того, если обслуживанию определенных требований отдается пред­почтение перед остальными, то наблюдается обслуживание с приоритетом (например, машины большой грузоподъемности ремонтируются раньше машин малой грузоподъемности).

Требование	Вид обслуживания	Обслуживающий аппарат
Телефонный разговор Автосамосвал То же То же Машина, требующая ремонта	Соединение с абонентом Погрузка Выгрузка Разгрузка Ремонт	Канал связи Экскаватор Отвальный тупик Бункер Бригада слесарей ремонта

Рассмотрим последовательно основные составные части системы массового обслуживания.

Анализ работы систем массового обслуживания обычно начинают с входящего потока требований. Различают регулярный и случайный потоки требований (событий). Поток событий называется регулярным, если требования поступают на обслуживание в строго определенные промежутки времени (по графику). Из-за влияния на ход производственного процесса случайных факторов (природных, технических, социально - психологических) регулярный поток практически никогда не наблюдается.

Главной характеристикой потока требований является его интенсивность λ - количество требований, поступающих на обслуживание в единицу времени.

Наиболее просто задачи массового обслуживания решаются для простейшего случайного потока требований, основные свойства которого - стационарность, ординарность и отсутствие последействия.

Поток является стационарным, если его интенсивность постоянна (λ=const) в любые промежутки времени. Например, количество автосамосвалов, прибывающих на погрузку каждый час, одно и то же. Реальные производственные процессы стационарны на небольшом отрезке времени, исключая обычно время начала и конца смены. Однако при расчете систем массового обслуживания в целях упрощения процесс принимают стационарным в течение всего исследуемого промежутка времени.

Ординарность потока означает поступление требований поодиночке.

Если рассматривать достаточно малый промежуток времени (∆t), условие ординарности потока обычно соблюдается. Например, под погрузку к экскаватору машины прибывают поодиночке.

Поток без последействия наблюдается в тех случаях, когда поступление требований не зависит от того, сколько их обслуживалось в системе ранее. Например, выход из строя определенного оборудования не зависит от того, какой его вид ломался ранее.

Для простейшего потока требований количество заявок, поступающих в единицу времени, подчинено пуассоновскому закону, при котором вероятность наличия в системе k требований за время t выражается формулой

Дифференцируя это выражение, получаем плотность распределения вероятностей интервалов времени между двумя заявками

которая подчиняется показательному закону.

Помимо простейшего пуассоновского в теории массового обслуживания рассматриваются и более сложные потоки (пуассоновский с переменной интенсивностью, Эрланга, Пальма и др.).

Кроме характера потока требований, работа системы массового обслуживания зависит от качества функционирования обслу­живающих аппаратов, основной характеристикой которых является время обслуживания одного требования или величина, обратная времени обслуживания - интенсивность обслуживания V. Эта вели­чина показывает количество требований, обслуживаемых в единицу времени. Интенсивность обслуживания - обычно случайная величи­на.

Решение задач массового обслуживания упрощается, если предположить, что время обслуживания распределено по показа­тельному закону, а плотность распределения определена зависи­мостью

На практике далеко не всегда входящий поток требований и время обслуживания можно удовлетворительно интерпретировать соответственно простейшим пуассоновским и показательным зако­нами распределения . Однако такое допущение, существенно облег­чая решение задачи, незначительно сказывается на расчетных вели­чинах основных показателей систем массового обслуживания.

Системы массового обслуживания подразделяются на системы с потерями и ожиданием.

В системах с потерями (отказами) требование, поступившее в момент, когда все обслуживающие аппараты заняты, получает отказ и покидает систему. Такие требования считаются для данной си­стемы потерянными.

В системах с ожиданиями требование, поступившее в момент, когда все обслуживающие аппараты заняты, становится в очередь и ожидает обслуживания. Время ожидания в очереди в общем случае может быть как ограниченным, так и неограниченным.

Классический пример системы массового обслуживания с по­терями - работа автоматической телефонной станции (АТС). Если линия связи или вызываемый абонент занят, то абонент, обратив­шийся в АТС, кладет трубку, т.е. требование покидает систему необслуженным.

В системах с неограниченной длиной очереди поступившее требование при отсутствии свободных каналов простаивает в ожи­дании своего обслуживания, причем оно обязательно будет обслу­жено.

В системах с ограниченным ожиданием накладывается огра­ничение либо на длину очереди, при которой требование ждет об­служивания, либо на время его пребывания в очереди.