Уравнения непрерывности и Пуассона

В уравнениях переноса (5.11) и (5.12) помимо нестационарных концентраций элек­тронов и дырок n(x, t), p(x, t) неизвестными величинами являются соответствующие плот­ности токов j_n(x, t), j_p(x, t) и электрическое поле Е. Таким образом, уравнения переноса должны быть дополнены ещё тремя уравнениями. Два из них могут быть получены из ус­ловия непрерывности потоков электронов и дырок, а в качестве третьего может быть ис­пользовано уравнение Пуассона.

Для получения уравнения непрерывности рассмотрим слой полупроводника площадью S и толщиной dx вблизи координаты x (рис.5.8).

Рис. 5.8. К выводу уравнения непрерывности

Результирующее изменение числа электронов за единицу времени в слое равно где — изменение числа электронов в единице объема в единицу времени, а Sdx - объем слоя. Это изменение количества электронов равно алгебраической сумме 4 компонент:

- числа электронов, поступающих в слой в единицу времени;

- числа электронов, выходящих из слоя за единицу времени;

- числа электронов, генерированных в слое за единицу времени;

- числа электронов, прорекомбинировавших в слое за единицу времени

Разложим в ряд Тейлора член j_n(x + dx), ограничиваясь двумя членами ряда

.

После подстановки j_n(x + dx) в исходное уравнение получим уравнение непрерывности для электронов

. (5.17)

Аналогичное уравнение для дырок имеет вид

. (5.18)

Знак минус в этом уравнении связан с изменением знака носителей заряда.

Для полупроводника n-типа уравнение непрерывности будет описывать динамику изменения концентрации дырок p_n:

где J_p – плотность дырочного ток, включающая дрейфовую и диффузионную компоненту, G_p – темп генерации неравновесных носителей, а R_p – темп рекомбинации.

Уравнение непрерывности – это уравнение сохранения числа частиц вединице объема. Это уравнение показывает, как и по каким причинам изменяется концентрация неравновесных дырок со временем. Во-первых, концентрация дырок может изменяться из-за дивергенции потока дырок, что учитывает первое слагаемое в правой части уравнения. Во-вторых, концентрация дырок может изменяться из-за генерации (ударная ионизация, ионизация под действием света и т. д.). В-третьих, концентрация дырок может изменяться из-за их рекомбинации, что учитывает третье слагаемое.

Если левая часть уравнения (1.48) отлична от нуля, то уравнение непрерывности описывает динамические, зависящие от времени концентрации неравновесных носителей p_n(x, t). Затем это выражение используется для анализа частотных и переходных характеристик полупроводниковых приборов.

Если левая часть уравнения (1.48) равна нулю, то уравнение непрерывности описывает стационарные значения концентрации неравновесных носителей p_n(x). Это выражение используется для расчета статических вольт-амперных характеристик приборов. В стационарном состоянии (при отсутствии генерации) уравнение непрерывности переходит в обычное диффузионное уравнение.

С учетом отмеченных выше допущений уравнение непрерывности имеет вид:

где Lp – диффузионная длина.

Введем следующие граничные условия:

при x = 0, p_n = p_n(x = 0); при x → ∞, p_n = p_n0.

Решение дифференциального уравнения с граничными условиями имеет вид:

Из соотношения (1.50) следует, что диффузионная длина L_p есть среднее расстояние, на которое неравновесные носители распространяются от области возмущения (инжекции). Соотношение, связывающее коэффициент диффузии D_p, длину диффузии L_p и время жизни τ p неравновесных носителей имеет следующий вид

Уравнение Пуассона связывает распределение поля Е(х) или потенциала φ(x) с распределением плотности заряда ρ(х)

, (5.19)

где ε₀ = 910^-14 Ф/см, ε – диэлектрическая проницаемость полупроводника,

Уравнения переноса (5.11), (5.12), непрерывности (5.17), (5.18) и Пуассона (5.19), дополненные начальными и граничными условиями, позволяют определить величины n, p, j_n, j_p и Е как функции координаты и времени.