13

Лекция 5. Кинетические явления в полупроводниках и металлах

Электропроводность полупроводников

В тех случаях, когда на полупроводники действуют неко­торые внешние факторы, возникает ненулевая упорядоченная скорость носителей заряда. Как следствие, состояние термо­динамического равновесия в полупроводнике нарушается. Связанные с этим явления называют явлениями переноса. Внешнее возбуждение может иметь самый разнообразный ха­рактер - электрический, тепловой или оптический. Поэтому конкретные проявления эффектов переноса могут быть раз­личными. В дальнейшем будем рассматривать дрейфовую и диффузионную электропроводности.

Движение носителей заряда в образце полупроводника может возникать, прежде всего, под действием электрическо­го поля или разности потенциалов. Образующийся электриче­ский ток принято называть дрейфовым. Кроме того, движение носителей может обусловливаться пространственной неодно­родностью их концентрации. При этом возникает так назы­ваемый диффузионный ток. Следовательно, в полупроводниках полный электрический ток определяется, в основном, двумя составляющими - дрейфовым и диффузионным токами: j_пол = j_др + j_диф.

В однородном полупроводнике свободные электроны, появившиеся за счет теплового возбуждения, совершают хао­тические движения. Траектория отдельно взятого электрона прямолинейна до тех пор, пока не произойдет столкновения. Столкновения могут возникать по ряду причин: из-за нару­шения периодичности потенциала под действием тепловых колебаний решетки (фононов), из-за дефектов решетки, раз­личных примесей, взаимодействий с другими носителями за­ряда и т.д. Средний ток в любом выбранном направлении ра­вен нулю. Среднее расстояние между двумя последователь­ными столкновениями называется длиной свободного пробега частицы и составляет от 10^-6 см до 10^-4 см. Так как средняя скорость электрона порядка 10⁷ см/с, то время свободного пробега τ_сп оказывается порядка 1 пс.

Если к полупроводниковому образцу приложено некото­рое достаточно слабое постоянное электрическое поле напря­женностью Е, то в этом случае наряду с хаотическим движением свободных электронов наблюдается их упорядо­ченное движение в направлении, параллельном вектору на­пряженности поля, но противоположном по знаку. Иными словами, возникает некоторая отличная от нуля средняя ско­рость упорядоченного движения в направлении поля. Эту скорость принято называть средней скоростью дрейфа носи­телей.

Электрическая проводимость σ твердого тела – это скорость перемещения заряда через единичное сечение тела при воздействии на него напряженности электрического поля равной единице. Если обозначить ток, проходящий через единичное сечение (или плотность тока) через J_x то σ = J_x / Е_х.

Дрейфовый ток

В однородном полупроводнике при отсутствии внешнего поля свободные элек­троны и дырки имеют тепловую энергию 3/2kT и перемещаются со случайными скоростя­ми, имеющими порядок 10⁷ см/с. При этом суммарный ток носителей равен 0. Если к по­лупроводнику приложить электрическое поле Е, то на фоне хаотического движения носи­телей возникает средняя скорость упорядоченного движения, называемая средней скоро­стью дрейфа. Плотность дрейфовых токов электронов и дырок (ток на единицу площади) пропорциональны концентрациям и их дрейфовым скоростям

где v_n и v_p - дрейфовые скорости электронов и дырок, q = 1,610¹⁹ К - заряд электрона.

Дрейфовые скорости в свою очередь пропорциональны полю Е:

.

Коэффициенты пропорциональности μ_п и μ_р носят названия подвижностей электронов и дырок. Подвижность электронов и дырок - средняя скорость направленного движения носителей заряда в электрическом поле с напряженностью равной единице

μ = V/E,

где Е - напряженность электрического поля, V – средняя скорость направленного движения носителей заряда.

Величины μ_п и μ_р определяются механизмами рассеяния носителей в кри­сталлической решетке полупроводника. В кремнии подвижности электронов и дырок соответственно равны μ_п = 1350 см² /Вс, μ_р = 480 см² /Вс. Различие величин подвижностей электронов и дырок связано с различием их эффективных масс. Подвижности падают с увеличением концентраций доноров N_d и акцепторов N_a , с ростом температуры и вели­чины напряженности поля E. При полях, превышающих 10⁴ В/см, происходит насыще­ние дрейфовых скоростей электронов и дырок на уровне 10⁷ см/с. После этого дрейфовые скорости перестают увеличиваться с ростом поля Е. Носители, движущиеся с насыщен­ными дрейфовыми скоростями, называют горячими.

С учетом выражений v_n и v_p плотности дрейфовых токов можно представить в виде

. (5.7)

Направление дрейфовых токов (j_n)_E и (j_p)_E поясняется следующей диа­граммой

Тип носителей	Направление поля	Направление скорости носителей	Направление тока
п	E →	(vn)Е 	( jn )E →
р	E →	(vp )E →	( jp )E →

Сравнивая выражения (j_n )_E и (j_p) _E в (5.7) с записью закона Ома в дифференци­альной форме j = σE , определим удельные проводимости, обусловленные движением электронов и дырок,

Полный ток дрейфа определяется как сумма электронной и дырочной состав­ляющих

(5.8)

Величина σ = j_E/E - удельная проводимость материала. Обратная ей величина ρ =1/σ — является удельным сопротивлением материала. Размерность ρ [Омсм]. В полупроводнике n - типа n ~ N_d, p ~ 0, а в полупроводнике p - типа p ~ N_a, n ~ 0. Следо­вательно, справедливы следующие приближенные равенства

.

Диффузионный ток

Если концентрация свободных электронов или дырок оказывается пространст­венно неоднородной (рис.4.7), то на фоне хаотического теплового движения носителей на­блюдается направленный перенос носителей из области с высокой концентрацией в об­ласть с низкой концентрацией. Этот процесс называется диффузией, а порождаемый им ток называется диффузионным.

Плотности диффузионных токов электронов (j_n)_D и дырок (j_p)_D пропорциональ­ны градиентам концентраций этих носителей

(5.9)

Величины D_n и D_p называются коэффициентами диффузии электронов и ды­рок соответственно. В кремнии D_n = 33 см²/с , D_p = 12 см²/с. Отрицательный знак в вы­ражении (j_p)_D связан с тем, что направление диффузионного тока дырок противоположно направлению градиента концентрации. Приведенная ниже диаграмма поясняет направле­ние диффузионных токов

Тип носителей	Направление гради­ента концентрации	Направление потока носителей	Направление тока
n	dn/dx →	электроны ←	(jn)D →
p	dp/dx →	дырки ←	(jp)D ←

Коэффициенты диффузии электронов D_n и дырок D_p, характеризующие ско­рость диффузионного процесса, связаны соотношением Эйнштейна с подвижностями но­сителей μ_n и μ_p, характеризующими скорость дрейфового процесса

. (5.10)

Величина φ_T = kT/q называется тепловым (или температурным) потенциалом. При Т = 300 К φ_T = 0,026 В.

Физический смысл этой связи (5.10) в том, что ограничение скорости, обоих ме­ханизмов движения определяется одной причиной: столкновениями носителей с дефекта­ми кристаллической решётки. Поэтому коэффициенты диффузии зависят от температуры и концентрации легирующей примеси так же, как соответствующие подвижности.

В общем случае свободные носители движутся под действием диффузии и дрейфа одновременно. При этом полный ток электронов и дырок равен сумме диффузи­онного и дрейфового токов.

С учетом выражений (5.7) и (5.9) запишем уравнения переноса для электронов и дырок

, (5.11)

. (5.12)

Если полупроводник с пространственно неоднородным распределением концентрации электронов или дырок находится в состоянии термодинамического равновесия (без внешнего воз­действия), то результирующий ток электронов и дырок очевидно равен нулю. Это означает, что согласно (5.11) и (5.12) диффузионный ток уравновешивается соответствующим дрейфовым током. Пусть для определенности полупроводник легирован акцепторами, концентрация которых изме­няется с координатой как N_a(x). Если все акцепторы ионизированы, то концентрация дырок в каждом объеме полупроводника равна концентрации акцепторов, т.е. p(x) = N_a(x). Полагая в (5.12) j_p = 0, найдем величину поля E , которая соответствует имеющемуся градиенту концентра­ции дырок

Это поле называется встроенным. Оно появляется вследствие того, что ушедшие за счет диффузии дырки оставляют за собой отрицательные ионы акцепторов, которые и создают поле E, препятствующее дальнейшему движению дырок.