Лекции / Лекции по ФОМ. ЮЗГУ (КГТУ) / lekcii-v-el.-vide-fom / Лекция 2

7

Лекция 2. Колебания решетки

Понятие о нормальных колебаниях решетки

Атомы твердых тел совершают тепловые колебания около положений равновесия. Вследствие взаимного вли­яния их друг на друга, характер этих колебаний явля­ется крайне сложным и точное описание его представля­ет огромные трудности. Поэтому прибегают к прибли­женным методам и различного рода упрощениям в ре­шении этой задачи.

Гармоническое приближение

Прежде всего предполагают, что смещения ча­стиц от положения равновесия при тепловых колебани­ях (s) являются малыми по сравнению с параметром решетки a (s обычно не превышает нескольких процен­тов от а). Это позволяет силы взаимодействия между частицами F считать в первом приближении пропорцио­нальными смещениям s:

F=—fs, (4.5)

где f — упругая постоянная. Такое приближение назы­вается гармоническим, так как под действием упругой силы тела совершают гармонические колебания.

Нормальные колебания решетки

Пользуясь гармоническим приближением, можно со­ставить уравнения движения колеблющихся частиц. Эти уравнения будут иметь следующий вид:

где М — масса частицы; — ускорение ее движения; F_n — результирующая сила, действующая на данную ча­стицу со стороны всех остальных частиц кристалла. Та­ких уравнений будет 3N в соответствии с 3N степенями свободы, которыми обладают частицы кристалла. Чтобы определить смещение любой из них, необходимо решить эту систему взаимно зацепляющихся уравнений, что для реального кристалла, состоящего из огромного числа атомов, является практически безнадежной задачей. По­этому прибегают к следующему упрощению.

Вместо того, чтобы описывать индивидуальные коле­бания частиц, рассматривают их коллективное движение в кристалле, как в пространственно упорядоченной си­стеме. Такое упрощение основывается на том, что вслед­ствие действия мощных сил связи колебание, возник­шее у данной частицы, немедленно передается соседним частицам и в кристалле возбуждается коллективное дви­жение в форме упругой волны, охватывающее все части­цы кристалла. Такое коллективное движение называется нормальным колебанием решетки. Число подобных ко­лебаний, которое может возникнуть в решетке, равно числу степеней свободы частиц кристалла (3N). В каж­дом из них на равных основаниях участвуют все атомы кристалла; с другой стороны, каждый атом участвует одновременно во всех 3N нормальных колебаниях ре­шетки.

На рис. 4.14, б показано несколько нормальных ко­лебаний, которые могут возникнуть в линейной цепочке, состоящей из одинаковых атомов, способных колебаться в направлении, перпендикулярном к длине цепочки. Та­кую цепочку можно рассматривать как струну. Если кон­цы цепочки закреплены, то основное колебание ее, отве­чающее самой низкой частоте ω_мин, соответствует воз­никновению стоячей волны с узлами на концах (кривая 1). Следующему колебанию отвечает стоячая волна с узлами не только на концах, но и на середине цепочки (кривая 2). Третьему колебанию, или, как говорят, третьему обертону соответствует стоячая волна с двумя узлами, делящими цепочку на три равные части (кри­вая 3), и т. д. Очевидно, что самая короткая длина вол­ны, которая может возникнуть в такой цепочке, будет равна удвоенному расстоянию между атомами цепочки (рис. 4.14, в):

Ей отвечает максимальная частота ω_макс, связанная с длиной волны λ_мин следующим соотношением:

где с — скорость распространения воли (звука) в цепоч­ке.

Минимальная частота колебаний цепочки равна:

где L — длина цепочки.

Из формул (4.8) и (4.9) видно, что ω_мин не являет­ся константой материала и зависит от размера цепочки (тела); что же касается ω_макс, то она является констан­той, определяемой межатомным расстоянием и скоро­стью распространения нормальных колебаний. Если принять а=3,610^-10 м (постоянная решетки меди) и с = 3550 м/с (скорость звука в меди), то для ω_макс полу­чим: ω_макс ~310¹³с^-1. Это соответствует частоте коле­баний атомов в твердом теле.

Для характеристики волновых процессов удобно пользоваться волновым вектором q, по направлению сов­падающим с направлением распространения колебаний и по величине равным:

Из соотношений (4.8) и (4.9) следует, что . Поэтому

На рис. 4.14,г доказана зависимость частоты нор­мальных колебаний, возникающих в линейной цепочке однородных атомов, от волнового вектора q. При возра­стании q от 0 до π/а частота нормальных колебаний уве­личивается и при q = π/а, т. е. при λ=2а достигает макси­мальной величины, равной ω_макс = π(с/а). Подобного рода кривые, выражающие зависимость частоты колебаний от волнового вектора (от длины волны), называются дисперсионными кривыми.

	Рис. 4.14. Нормальные колебания линейной цепочки, состоящей из одинаковых атомов: а - линейная цепочка; б – нормальные колебания цепочки; в – нормальные колебания цепочки, отвечающие самой короткой длине волны (наибольшей частоте); г – дисперсионные кривые выражающие зависимость частоты нормальных колебаний цепочки от волнового вектора

Акустические и оптические колебания

Рассмотрим теперь цепочку, состоящую из атомов двух сортов, правильно чередующихся друг за другом (рис. 4.15, а). Обозначим массу более тяжелых атомов через М, более легких через т. В такой цепочке возмож­но возникновение двух типов нормальных колебаний, показанных на рис. 4.15. Рис. 4.15, б иллюстрирует два типа нормальных колебаний, соответствующих самой ко­роткой волне λ_мин = 2а. В первом случае колеблются тя­желые атомы, а легкие покоятся, во втором случае ко­леблются легкие атомы, а тяжелые покоятся. Ясно, что частота колебаний в первом случае должна быть ниже, чем во втором.

На рис. 4.15, в, г показаны колебания цепочки, соот­ветствующие большим длинам волн (λ>>а). Колебания рис. 4.15, в ничем не отличаются от колебаний однород­ной цепочки: соседние атомы колеблются практически в одной фазе и при q = 0 ω_ак=0. Такие колебания назы­ваются акустическими, так как они включают весь спектр звуковых колебаний цепочки. Для цепочки, состоящей из одинаковых атомов, это единственные колебания, ко­торые могут в ней возникнуть.

Рис. 4.15. Нормальные колебания цепочки, состоящей из атомов двух сортов: а – расположение атомов в цепочке; б – два типа нормальных колебаний, отвечающие самой короткой длине волны; в – акустические нормальные колебания для λ > a; г – оптические нормальные колебания для λ > a; д – дисперсионные кривые для акустических и оптических нормальных колебаний

В случае нормальных колебаний, показанных на рис. 4.15, г соседние атомы колеблются в противопо­ложных фазах. Эти колебания можно рассматривать как колебания друг относительно друга двух подрешеток из однородных атомов, вставленных одна в одну. Их назы­вают оптическими колебаниями, так как они играют ос­новную роль в процессах взаимодействия света с кри­сталлом. В частности поглощение инфракрасного света ионными кристаллами обусловлено именно оптическими колебаниями решетки.

Акустические же колебания играют основную роль в определении тепловых свойств кристаллов — теплоем­кости, теплопроводности, термического расширения и т. д.

На рис. 4.15, д показаны дисперсионные кривые для акустических и оптических нормальных колебаний це­почки, состоящей из двух сортов атомов. В то время как для акустических колебаний частота растет с ростом волнового вектора и достигает максимального значения при q =π/2a, для оптических колебаний ω_макс имеет место при q = 0; с ростом q частота оптических колебаний уменьшается и становится минимальной при q = π/2a.

Оптические колебания возникают не только в цепоч­ке, состоящей из разнородных атомов, но и в том случае, когда сложная цепочка состоит из двух и более простых, составленных из одинаковых атомов и вставлен­ных друг в друга, как показано на рис. 4.16. В элемен­тарной ячейке такой цепочки содержится два атома. Оптические колебания возникают в результате колеба­ния одной подрешетки относительно другой.

Нормальные колебания трехмерной решетки

Результаты, полученные для одномерной цепочки, могут быть обобщены на случай трехмерного кристалла.

Для кристаллов с решеткой Бравэ, имеющих в эле­ментарной ячейке один атом, как и для простых цепо­чек, существуют только акустические колебания. При этом каждому волно­вому вектору q соответ­ствуют три колебания: одно продольное с часто­той ω₁ и два поперечных с частотами ω₂ и ω₃. Ди­сперсионные 'кривые для этих колебаний показаны на рис. 4.17.

Рис. 4.17. Акустические ветви нормальных колебаний трехмерной решетки

В сложных кристал­лах, элементарная ячейка которых содержит r ато­мов, возникают три акустические ветви колебаний, для которых все атомы одной ячейки колеблются вместе как одно целое, и 3(r - 1) оптические ветви, соответствующие «внутриячеечным» колебаниям. Общее число колебаний равно 3N.

Функция распределения нормальных колебаний

Для кристаллов с решеткой Бравэ функция распределения нормальных колебания имеет вид:

где ω_D – максимальная частота, ограничивающая спектр нормальных колебаний сверху и называется характеристической дебаевской частотой.

Температура

называется характеристической температурой Дебая, где k – постоянная Больцмана.

Корпускулярное представление нормальных колебаний решетки

Нормальные осцилляторы

Каждое нормальное колебание несет с собой порцию энергии и импульса. В теории колебаний доказывается, что энергия нормального колебания решетки равна энер­гии осциллятора, имеющего массу, равную массе колеб­лющихся атомов, и колеблющегося с частотой, равной частоте нормального колебания:

Такие осцилляторы называются нормальными.

Полная энергия кристалла, в котором возбуждены все 3N нормальных колебаний, равна:

Таким образом, полная энергия кристалла, состоя­щего из атомов, совершающих связанные колебания, равна энергии 3N независимых нормальных линейных гармонических осцилляторов. В этом смысле система из N связанно колеблющихся атомов эквивалентна набо­ру из 3N нормальных осцилляторов и задача об опреде­лении средней энергии такой системы сводится к более простой задаче об определении средней энергии 3N нор­мальных осцилляторов.

Следует подчеркнуть, что нормальные осцилляторы не имеют ничего общего с реальными атомами, кроме одинаковой массы. Каждый осциллятор представляет одно из нормальных колебаний решетки, в котором уча­ствуют все атомы кристалла, совершая его с одной и той же частотой ω.

Фононы

Известно, что энергия квантового осцил­лятора квантована — она может принимать лишь следу­ющий ряд дискретных значений:

Поэтому квантоваться должна и энергия нормальных колебаний решетки, причем допустимые значения для нее определяются также соотношением (2. 85). Мини­мальной порцией или квантом энергии таких колебаний является

Этот квант называется фононом.

Можно провести аналогию между фононами и фото­нами. Подобно тому, как электромагнитное поле излу­чения, заполняющее, например, полость абсолютно чер­ного тела, можно трактовать как набор световых кван­тов — фотонов, поле упругих колебаний, заполняющих кристалл, можно рассматривать как совокупность кван­тов нормальных колебаний решетки — фононов. Как и фо­тон фонон обладает не только энергией, но и импульсом:

Однако фононы не являются частицами в обычном смысле. Появляясь в результате квантования нормаль­ных колебаний, они представляют собой корпускулярный аспект описания коллективных волновых движений, ох­ватывающих весь кристалл (упорядоченный коллектив). Поэтому они существуют лишь постольку, поскольку су­ществует сам упорядоченный коллектив. Фононы не мо­гут быть «вынуты» из кристалла и исчезают вместе с разрушением кристалла. Такого рода элементарные возбуждения кристалла принято называть квазичасти­цами. В гармоническом приближении, в котором нор­мальные колебания решетки являются независимыми, взаимодействие между фононами равно нулю и они об­разуют идеальный газ. Поэтому в динамическом отноше­нии кристалл можно рассматривать как идеальный газ фононов.