2.4. Решение задачи в Mathcad
Для решения задачи линейного программирования в Mathcad используются функции Maximize для нахождения максимального значения целевой функции или Minimize - для нахождения минимального значения целевой функции.
Аргументами функций Maximize и Minimize являются целевая функция, которую необходимо описать и параметры, например:
Maximize(q,x1,x2)
Ограничения задаются в блоке Given.
Рекомендуется использовать комментарии в виде поясняющего текста. Для этого сначала необходимо разместить в месте ввода текста курсор (визир - красный крестик). Затем пункт меню Insert, команду Text Region (Текстовая область) или в месте расположения курсора нажать клавишу с двойной кавычкой (команда для ввода текста). В обоих случаях появится шаблон, указывающий место и начало ввода. Текстовая область будет автоматически увеличиваться по мере ввода текста. По окончании его необходимо вывести курсор (маркер ввода) за рамки области.
Далее определяется критерий оптимизации - целевая функция. Для этого вводится имя критерия оптимизации, с аргументами в скобках через запятые:
q(x1,x2)
затем вводится знак присваивания := и выражение критерия оптимизации, например:
q(x1,x2):=8∙x1+12∙x2.
После ввода критерия оптимизации необходимо ввести начальные значения для всех параметров, например:
x1:=0, x2:=0.
Для задания ограничений вводится ключевое слово
Given
за которым следуют выражения, определяющие ограничения в виде:
2∙х1+4∙х2 ≤ 490;
0.5∙x1+0.25∙ х2 ≤ 65;
2*x1+2.5*x2 ≤ 320.
Так как параметры не могут принимать отрицательные значения, необходимо добавить ограничения:
х1 ≥ 0,
x2 ≥ 0.
Для корректного обращения к функциям Maximize и Minimize необходимо ввести вектор-столбец искомых параметров, используя диалоговое окно Matrix (рис. 16) .
Рис. 16. Диалоговое окно Matrix
После
щелчка кнопки
в диалоговом окне Insert Matrix необходимо
ввести в поле Rows (Строки) число параметров,
а в поле Columns (Столбцы) – 1 (рис. 17).
Рис. 17. Диалоговое окно Insert Matrix
Введя в матрицу параметры достаточно нажав клавишу <→> для выхода за границу матрицы ввести := и обращение к функции Maximize или Minimize, например:
.
Для
получения результата достаточно ввести:
для расчета значения целевой функции достаточно ввести:
На рис. 18 показано окно программы Mathcad c решением рассматриваемой задачи.
Примечание
Поиск минимума целевой функции можно организовать с помощью функции Minerr(q,x1,x2).
Для этого надо поменять имя функции Minimize на Minerr, а после ключевого слова Given добавить выражение, приравнивающее функции q(х,у) значение, заведомо меньшее минимального, например: q(x, у): = 0.
Рис. 18. Окно программы Mathcad с решением задачи
3. Задания
Вариант 1
Предприятие производит два продукта А и В, рынок сбыта которых не ограничен. Каждый продукт должен быть обработан на каждом из трех типов оборудования ОБ1, ОБ2, ОБ3. Время обработки для каждого из продуктов А и В представлено в табл. 2.
Таблица 2
Продукт |
ОБ1 |
ОБ2 |
ОБ3 |
А |
0,5 |
0,4 |
0,2 |
В |
0,25 |
0,3 |
0,4 |
Фонд времени работы оборудования в неделю для ОБ1, ОБ2, ОБ3 соответственно 40, 36 и 36 ч. Прибыль от продуктов А и В соответственно 5 и 3 тыс. р.
Необходимо определить недельные нормы выпуска продуктов А и В, при котором доход предприятия от реализации всей продукции максимален.
Вариант 2
Изготовление продукции двух видов П1 и П2 требует использования четырех видов сырья S1, S2, S3, S4. Запасы каждого сырья ограничены и соответствуют 19, 13, 15, 18 условных единиц. Количество единиц сырья, необходимое для изготовления каждого из видов продукции, заданы в табл. 3.
Таблица 3
Виды сырья |
Запасы сырья |
Виды продукции |
|
П1 |
П2 |
||
S1 |
19 |
2 |
3 |
S2 |
13 |
2 |
1 |
S3 |
15 |
0 |
3 |
S4 |
18 |
3 |
0 |
Доход |
|
7 |
5 |
В последней строке таблицы указан доход, получаемый предприятием от реализации одной единицы каждого вида продукции.
Требуется состав такой план выпуска продукции видов П1 и П2, при котором доход предприятия от реализации всей продукции максимален.
Вариант 3
Пусть дневная потребность в каких-то веществах (ингредиентах), например белках, жирах, углеводах, витаминах и др. задана и известно содержание этих веществ в имеющихся продуктах, а так же цена единицы каждого продукта. Даны три вида продуктов П1,П2 и П3. В табл. 4 даны запасы i-го ингредиента в j-м виде продукта, Cij – стоимость некоторой единицы j-го вида продуктов.
Таблица 4
Питательные вещества |
Виды продукта |
||
П1 |
П2 |
П3 |
|
В1-жиры, 10 |
3 |
0 |
4 |
В2- белки, 20 |
10 |
1 |
2 |
В3- углеводы, 30 |
0 |
4 |
3 |
В4-вода 50 |
1 |
6 |
15 |
В5-витамины 40 |
4 |
6 |
2 |
стоимость |
32 |
18 |
10 |
Требуется так составить рацион питания, чтобы стоимость его была минимальна, но рацион содержал бы не менее минимальной суточной нормы питательных веществ всех видов bi.
Вариант 4
Предприятие производит три вида продукции (А, В, С), для выпуска каждого из которых требуется определенное время обработки на всех четырех типах оборудования ОБ1, ОБ2, ОБ3 и ОБ4 (табл. 5).
Таблица 5
Продукция
|
Время обработки |
Прибыль |
|||
ОБ1 |
ОБ2 |
ОБ3 |
ОБ4 |
||
А |
1 |
3 |
1 |
2 |
3 |
В |
6 |
1 |
3 |
3 |
6 |
С |
3 |
3 |
2 |
4 |
4 |
Пусть время работы оборудования составляет соответственно 84, 42, 21 и 42 ч. Какую продукцию и в каких количествах надо производить, чтобы получить максимальную прибыль.
Вариант 5
Изготовление продукции трех видов Прод1, Прод2 и Прод3 требует использования трех видов сырья S1, S2, S3. Запасы каждого сырья ограничены и соответствуют 29, 33, 25 условных единиц. Количество единиц сырья, необходимое для изготовления каждого из видов продукции, заданы в табл. 6.
Таблица 6
Виды сырья |
Виды продукции |
||
Прод1 |
Прод2 |
Прод3 |
|
S1 |
5 |
4 |
4 |
S2 |
6 |
7 |
2 |
S3 |
1 |
2 |
7 |
Доход |
4 |
6 |
7 |
В последней строке таблицы указан доход, получаемый предприятием от реализации одной единицы каждого вида продукта. Требуется состав такой план выпуска продукции, при котором доход предприятия от реализации всей продукции максимален.
Вариант 6
Имеется 6 видов сырья, ассортимент ограничен 5 видами колбасных изделий (табл. 7).
Таблица 7
Вида колбас |
Расход сырья на ед. продукции (кг) |
Ресурс мяса |
||||
Люби-тельская |
Сервелат |
Ростовская |
Докторская |
Украинская |
|
|
Виды сырья |
|
|
|
|
|
|
Говядина в. с. |
100 |
61,5 |
|
|
115,5 |
10328 |
Говядина 1 с. |
|
|
61,5 |
53,8 |
|
49785 |
Свинина жирная |
|
|
|
53,8 |
|
42796 |
Грудинка свиная |
53,8 |
38,5 |
|
23,1 |
|
76934 |
Свинина шпик |
|
|
15,4 |
|
38,5 |
14875 |
Свинина не жирная |
|
53,8 |
76,4 |
23,1 |
|
57683 |
Прибыль от ед. продукции |
72,5 |
66 |
12,5 |
91 |
43,6 |
|
Какие колбасные изделия и в каком количестве нужно производить при имеющихся мощностях, ресурсах сырья, чтобы получить максимальную прибыль.
Вариант 7
Предприятие располагает тремя группами основного технологического оборудования и может выпускать изделия четырех видов А, Б, В и Г. Все изделия имеют практически неограниченный сбыт, нет ограничений и в приобретении необходимых материалов (сырья). Необходимые данные занесены в табл. 8.
Таблица 8
Оборудование |
Время в часах на единицу изделия |
Месячный фонд времени работы оборудования |
|||
А |
Б |
В |
Г |
||
1 |
0,02 |
0,03 |
0,07 |
0,13 |
400 |
2 |
0,05 |
0,08 |
0,02 |
0 |
200 |
3 |
0,1 |
0 |
0,05 |
0,02 |
500 |
Прибыль |
0,4 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
|
Требуется определить такие объемы выпуска Х1, Х2, Х3, Х4 каждого изделия А, Б, В и Г, которые обеспечивают максимальную прибыль предприятия.
Вариант 8
Изготовление продукции двух видов П1 и П2 требует использования четырех видов сырья S1, S2, S3, S4. Запасы каждого сырья ограничены и соответствуют 19, 13, 15, 18 условных единиц. Количество единиц сырья, необходимое для изготовления каждого из видов продукции, заданы в табл. 9.
Таблица 9
Виды сырья |
Запасы сырья |
Виды продукции |
|
П1 |
П2 |
||
S1 |
20 |
2,2 |
3,1 |
S2 |
14 |
2,1 |
1,2 |
S3 |
17 |
0 |
3 |
S4 |
18 |
3,2 |
0 |
Доход |
|
7,1 |
5,1 |
В последней строке таблицы указан доход, получаемый предприятием от реализации одной единицы каждого вида продукции.
Требуется состав такой план выпуска продукции видов П1 и П2, при котором доход предприятия от реализации всей продукции максимален.
Вариант 9
Пусть дневная потребность в каких-то веществах (ингредиентах), например белках, жирах, углеводах, витаминах и др. задана и известно содержание этих веществ в имеющихся продуктах, а так же цена единицы каждого продукта. Даны три вида продуктов П1,П2 и П3. В таблице даны запасы i-го ингредиента в j-м виде продукта, Cij – стоимость некоторой единицы j-го вида продуктов (табл. 10).
Таблица 10
Питательные вещества |
Виды продукта |
||
П1 |
П2 |
П3 |
|
В1-жиры, 10 |
3,1 |
0 |
4 |
В2- белки, 20 |
11 |
1,2 |
2 |
В3- углеводы, 30 |
0 |
4 |
3 |
В4-вода 50 |
1,2 |
6,5 |
15 |
В5-витамины 40 |
4,1 |
6 |
2 |
стоимость |
34 |
17 |
17 |
Требуется так составить рацион питания, чтобы стоимость его была минимальна, но рацион содержал бы не менее минимальной суточной нормы питательных веществ всех видов bi.
Вариант 10
Предприятие производит три вида продукции (А, В, С), для выпуска каждого из которых требуется определенное время обработки на всех четырех типах оборудования ОБ1, ОБ2, ОБ3 и ОБ4 (табл. 11).
Таблица 11
Вид продукции |
Время обработки |
Прибыль |
|||
ОБ1 |
ОБ2 |
ОБ3 |
ОБ4 |
||
А |
1 |
3 |
1 |
2 |
3 |
В |
6 |
1 |
3 |
3 |
6 |
С |
3 |
3 |
2 |
4 |
4 |
Пусть время работы оборудования составляет соответственно 82, 44, 23 и 41 ч. Определить, какую продукцию и в каких количествах следует производить, чтобы предприятие получило максимальную прибыль.
Вариант 11
Предприятие располагает тремя группами основного технологического оборудования и может выпускать изделия четырех видов А, Б, В и Г. Все изделия имеют практически неограниченный сбыт, нет ограничений и в приобретении необходимых материалов (сырья). Необходимые данные занесены в табл. 12.
Таблица 12
Оборудование |
Время в часах на единицу изделия |
Месячный фонд времени работы оборудования |
|||
А |
Б |
В |
Г |
||
1 |
0,02 |
0,03 |
0,07 |
0,13 |
450 |
2 |
0,05 |
0,08 |
0,02 |
0 |
220 |
3 |
0,1 |
0 |
0,05 |
0,02 |
510 |
Прибыль |
0,43 |
0,21 |
0,53 |
0,81 |
|
Требуется определить такие объемы выпуска Х1, Х2, Х3, Х4 каждого изделия А, Б, В и Г, которые обеспечивают максимальную прибыль предприятия.
Вариант 12
Изготовление продукции трех видов Прод1, Прод2 и Прод3 требует использования трех видов сырья S1, S2, S3. Запасы каждого сырья ограничены и соответствуют 28, 32, 24 условных единиц. Количество единиц сырья, необходимое для изготовления каждого из видов продукции, заданы в табл. 13.
Таблица 13
Виды сырья |
Виды продукции |
||
Прод1 |
Прод2 |
Прод3 |
|
S1 |
5 |
4 |
4 |
S2 |
6 |
7 |
2 |
S3 |
1 |
2 |
7 |
Доход |
4,2 |
6,3 |
7,1 |
В последней строке таблицы указан доход, получаемый предприятием от реализации одной единицы каждого вида продукта. Требуется состав такой план выпуска продукции, при котором доход предприятия от реализации всей продукции максимален.
Вариант 13
Имеется 6 видов сырья, ассортимент ограничен 5 видами колбасных изделий (табл. 14).
Таблица 14
Вида колбас |
Расход сырья на ед. продукции (кг) |
Ресурс мяса |
||||
Люби-тельская |
Сервелат |
Ростовская |
Докторская |
Украинская |
||
Виды сырья |
|
|
|
|
|
|
Говядина высший с. |
100 |
61,5 |
|
|
115,5 |
10000 |
Говядина 1 с. |
|
|
61,5 |
53,8 |
|
48000 |
Свинина жирная |
|
|
|
53,8 |
|
43000 |
Грудинка свиная |
53,8 |
38,5 |
|
23,1 |
|
77500 |
Свинина шпик |
|
|
15,4 |
|
38,5 |
15000 |
Свинина не жирная |
|
53,8 |
76,4 |
23,1 |
|
57000 |
Прибыль от ед. продукции |
72 |
65 |
13 |
90 |
42 |
|
Заводу приходится решать задачу: какие колбасных изделий и в каком количестве необходимо производить при имеющихся мощностях, ресурсах сырья, чтобы получить максимальную прибыль.
Вариант 14
Предприятие располагает тремя группами основного технологического оборудования и может выпускать изделия четырех видов А, Б, В и Г. Все изделия имеют практически неограниченный сбыт, нет ограничений и в приобретении необходимых материалов (сырья). Необходимые данные занесены в табл. 15.
Таблица 15
Оборудование |
Время в часах на единицу изделия |
Месячный фонд времени работы оборудования |
|||
А |
Б |
В |
Г |
||
1 |
0,02 |
0,03 |
0,07 |
0,13 |
420 |
2 |
0,05 |
0,08 |
0,02 |
0 |
200 |
3 |
0,1 |
0 |
0,05 |
0,02 |
510 |
Прибыль |
0,45 |
0,21 |
0,53 |
0,82 |
|
Требуется определить такие объемы выпуска Х1, Х2, Х3, Х4 каждого изделия А, Б, В и Г, которые обеспечивают максимальную прибыль предприятия.
Вариант 15
Изготовление продукции двух видов П1 и П2 требует использования четырех видов сырья S1, S2, S3, S4. Запасы каждого сырья ограничены и соответствуют 20, 14, 16, 19 условных единиц. Количество единиц сырья, необходимое для изготовления каждого из видов продукции, заданы в табл. 16.
Таблица 16
Виды сырья |
Запасы сырья |
Виды продукции |
|
П1 |
П2 |
||
S1 |
18 |
2,2 |
3,1 |
S2 |
15 |
2,1 |
1,2 |
S3 |
18 |
0 |
3 |
S4 |
19 |
3,2 |
0 |
Доход |
|
7,1 |
5,1 |
В последней строке таблицы указан доход, получаемый предприятием от реализации одной единицы каждого вида продукции.
Требуется состав такой план выпуска продукции видов П1 и П2, при котором доход предприятия от реализации всей продукции максимален.
Вариант 16
Пусть дневная потребность в каких-то веществах (ингредиентах), например белках, жирах, углеводах, витаминах и др. задана и известно содержание этих веществ в имеющихся продуктах, а так же цена единицы каждого продукта. Даны три вида продуктов П1,П2 и П3. В табл. 17 даны запасы i-го ингредиента в j-м виде продукта, Cij – стоимость некоторой единицы j-го вида продуктов.
Таблица 17
Питательные вещества |
Виды продукта |
||
П1 |
П2 |
П3 |
|
В1-жиры, 10 |
3,1 |
0 |
4 |
В2- белки, 21 |
11 |
1,2 |
2 |
В3- углеводы, 32 |
0 |
4 |
3 |
В4-вода 52 |
1,2 |
6,5 |
15 |
В5-витамины 42 |
4,1 |
6 |
2 |
стоимость |
37 |
18 |
19 |
Требуется так составить рацион питания, чтобы стоимость его была минимальна, но рацион содержал бы не менее минимальной суточной нормы питательных веществ всех видов bi.
Вариант 17
Предприятие производит три вида продукции (a, b,c), для выпуска каждого из которых требуется определенное время обработки на четырех типах оборудования об1, об2, об3 и об4 (табл. 18).
Таблица 18
Вид продукции |
Время обработки |
Прибыль |
|||
об1 |
об2 |
об3 |
об4 |
||
a |
1 |
3 |
1 |
2 |
3,5 |
b |
6 |
1 |
3 |
3 |
6,4 |
c |
3 |
3 |
2 |
4 |
4,1 |
Время работы оборудования составляет соответственно 85, 46, 23 и 40 ч. Определить, какую продукцию следует производить, чтобы предприятие получило максимальную прибыль.
Вариант 18
Предприятие располагает тремя группами основного технологического оборудования и может выпускать изделия четырех видов А, Б, В и Г. Все изделия имеют практически неограниченный сбыт, нет ограничений и в приобретении сырья. (табл. 19).
Таблица 19
Оборудование |
Время в часах на единицу изделия |
Месячный фонд времени работы оборудования |
|||
А |
Б |
В |
Г |
||
1 |
0,02 |
0,03 |
0,07 |
0,13 |
455 |
2 |
0,05 |
0,08 |
0,02 |
0 |
223 |
3 |
0,1 |
0 |
0,05 |
0,02 |
512 |
Прибыль |
0,434 |
0,212 |
0,533 |
0,812 |
|
Требуется определить объемы выпуска x1, x2, x3, x4 каждого изделия А, Б, В и Г, которые максимизируют прибыль.
Вариант 19
Изготовление продукции трех видов Прод1, Прод2 и Прод3 требует использования трех видов сырья S1, S2, S3. Запасы каждого сырья ограничены и соответствуют 27, 33, 24 условных единиц. Количество единиц сырья, необходимое для изготовления каждого из видов продукции, заданы в табл. 20.
Таблица 20
Виды сырья |
Виды продукции |
||
Прод1 |
Прод2 |
Прод3 |
|
S1 |
5 |
4 |
4 |
S2 |
6 |
7 |
2 |
S3 |
1 |
2 |
7 |
Доход |
4,25 |
6,34 |
7,17 |
В последней строке таблицы указан доход, получаемый предприятием от реализации одной единицы каждого вида продукции.
Требуется состав такой план выпуска продукции, при котором доход предприятия от реализации всей продукции максимален.
Вариант 20
Предприятие располагает тремя группами основного технологического оборудования и может выпускать изделия четырех видов А, Б, В и Г. Все изделия имеют практически неограниченный сбыт, нет ограничений и в приобретении необходимых материалов (сырья). Необходимые данные приведены в табл. 21.
Таблица 21
Оборудование |
Время в часах на единицу изделия |
Месячный фонд времени работы оборудования |
|||
А |
Б |
В |
Г |
||
1 |
0,02 |
0,03 |
0,07 |
0,13 |
422 |
2 |
0,05 |
0,08 |
0,02 |
0 |
250 |
3 |
0,1 |
0 |
0,05 |
0,02 |
520 |
Прибыль |
0,46 |
0,23 |
0,54 |
0,83 |
|
Требуется определить такие объемы выпуска Х1, Х2, Х3, Х4 каждого изделия А, Б, В и Г, которые обеспечивают максимальную прибыль предприятия
Вариант 21
Пусть дневная потребность в каких-то веществах (ингредиентах), например белках, жирах, углеводах, витаминах и др. задана и известно содержание этих веществ в имеющихся продуктах, а так же цена единицы каждого продукта. Даны три вида продуктов П1,П2 и П3. В таблице даны запасы i-го ингредиента в j-м виде продукта, Cij – стоимость некоторой единицы j-го вида продуктов (табл. 22).
Таблица 22
Питательные вещества |
Виды продукта |
||
П1 |
П2 |
П3 |
|
В1-жиры, 10 |
3,5 |
0,2 |
4 |
В2- белки, 20 |
11 |
1,2 |
2 |
В3- углеводы, 30 |
0 |
4 |
3 |
В4-вода 50 |
1,2 |
6,5 |
16 |
В5-витамины 40 |
4 |
6 |
2 |
стоимость |
34 |
17 |
17 |
Требуется так составить рацион питания, чтобы стоимость его была минимальна, но рацион содержал бы не менее минимальной суточной нормы питательных веществ всех видов bi.
Вариант 22
Предприятие производит три вида продукции (А, В, С), для выпуска каждого из которых требуется определенное время обработки на всех четырех типах оборудования ОБ1, ОБ2, ОБ3 и ОБ4 (табл. 23).
Таблица 23
Вид продукции |
Время обработки |
Прибыль |
|||
ОБ1 |
ОБ2 |
ОБ3 |
ОБ4 |
||
А |
2 |
4 |
1 |
1 |
3 |
В |
6 |
1 |
3 |
3 |
6 |
С |
3 |
3 |
2 |
4 |
4 |
Пусть время работы оборудования составляет соответственно 80, 45, 24 и 40 ч. Определить, какую продукцию и в каких количествах следует производить, чтобы предприятие получило максимальную прибыль.