3 Рассчитать токи во всех ветвях методом узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов – метод расчет электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы. Он основан на первом законе Кирхгофа и законе Ома. Рассчитав потенциалы узлов схемы, ток любой ветви можно определить по закону Ома.

Любой узел (любая точка) схемы может быть заземлен без изменения токораспределения в цепи, поэтому потенциал одного из узлов можно принять равным нулю. При этом число неизвестных потенциалов уменьшится на 1, то есть число неизвестных потенциалов равно числу уравнений, составляемых для схемы по первому закону Кирхгофа, n = y – 1.

В этом случае, когда число уравнений, составляемых для схемы по первому закону Кирхгофа, меньше числа уравнений по второму закону Кирхгофа, то есть n<m, метод узловых потенциалов более экономичен по объему вычислительных операций, чем метод контурных токов. Этот метод принимается также для расчета схем с ветвями, содержащими только источники ЭДС. Искомые токи ветвей рассчитываются по закону Ома с учетом произвольно выбранных их положительных направлений. Если в результате ток какой–либо ветви окажется отрицательным, то это означает, что в действительности направление тока противоположно принятому.

Решение:

Е₁=25 В, Е₂=50 В, Е₃=75 В;

r₁=15 Ом, r₂=30 Ом, r₃=45 Ом, r₄=60 Ом, r₅=75 Ом;

 =2 А.

Рисунок 4 – Расчетная схема

Составляем расчетную схему цепи, на которой показываем выбранные положительные направления всех токов и ЭДС, а также пронумеровываем все узлы схемы (рисунок 4).

Составляем систему уравнений узловых потенциалов:

Подставляем известные значения и получаем следующее:

Находим определитель системы:

Находим алгебраические дополнения:

Следующим шагом находим узловые потенциалы:

Определим токи в ветвях схемы по закону Ома:

Ток необходимо найти по первому закону Кирхгофа:

4 Составить баланс мощностей

Скорость преобразования электрической энергии в другие виды представляет электрическую мощность,

. (3)

Из закона сохранения энергии следует, что мощность источников питания в любой момент времени равна сумме мощностей, расходуемой на всех участках цепи,

(4)

Это соотношение (4) называют уравнением баланса мощностей. При составлении уравнения баланса мощностей следует учесть, что если действительные направления ЭДС и тока источника совпадают, то источник ЭДС работает в режиме источника питания, и произведение EI подставляют в (4) со знаком плюс. Если не совпадают, то источник ЭДС работает в режиме потребителя электрической энергии, и произведение EI подставляют в (4) со знаком минус.

Решение:

Е₁=25 В, Е₂=50 В, Е₃=75 В;

r₁=15 Ом, r₂=30 Ом, r₃=45 Ом, r₄=60 Ом, r₅=75 Ом;

=2 А.

Рисунок 5 – Расчетная схема

Составляем расчетную схему цепи, на которой показываем выбранные положительные направления всех токов и ЭДС, а также пронумеровываем все узлы схемы и укажем напряжение на источнике тока. (рисунок 5).

Используя обобщенный закон Ома, определим напряжение U_J на источнике тока:

Найдем мощность источников питания:

Найдем мощность приемника:

Найдем относительную погрешность:

Решение верное, так как .