2.1. Предикатная спецификация программы

Уточним и дополним понятие предикатной спецификации, определенное в разд. 1.2. Рассмотрим следующую простую схему взаимодействия программы с окружением: ввод входных данных происходит перед началом исполнения программы, вывод результатов  по завершению исполнения, а других взаимодействий с окружением нет. В данной схеме программа реализует функцию, отображающую значения входных данных в значения результатов. Допустим, программа представлена оператором S; x обозначает набор входных данных, а y  набор результатов. Спецификация программы определяется формулой P(x) & Q(x, y), где P(x)  предусловие, истинное перед исполнением программы, а Q(x, y)  постусловие, истинное после исполнения программы. Программа со спецификацией представляется известной тройкой Хоара {P(x)} S {Q(x, y)}, см. [9].

Спецификация P(x) & Q(x, y) является предикатной при условии, что взаимодействие программы с окружением ограничивается вводом данных перед началом исполнения и выводом результатов после завершения. Программа принадлежит классу программ с предикатной спецификацией, если удается переместить ввод всех данных перед началом исполнения программы, а вывод  после завершения исполнения. Для программы реального времени (реактивной системы) подобный перенос ввода и вывода принципиально невозможен. Такая программа относится к классу программ с процессной спецификацией [4; 5], поскольку эффект исполнения программы нельзя представить в виде функции  эффект определяется только в виде процесса. Спецификация может быть адекватно представлена на языке алгебры процессов Р. Милнера [12] или Т. Хоара [13].

2.2. Логическая семантика языка программирования

Всякая программа содержит логику. Это, например, бизнес-логика, извлекаемая нетривиальным анализом из текста программы в процессе реинжиниринга программы [16]. Это также логические формулы, получаемые по программе в соответствии с формальной семантикой языка программирования (денотационной [8] или аксиоматической [9; 10]) в целях формального доказательства свойств программы.

Проанализируем происхождение логики программы. На рис. 2 представлена общая схема, отражающая связи задачи и программы. Программа является реализацией алгоритма решения некоторой математической задачи. Алгоритм строится с использованием свойств (утверждений, лемм, теорем), доказуемых из условия задачи. Описание алгоритма обычно является содержательным. Программа является результатом кодирования алгоритма на языке программирования.

Рис. 2. Связи между задачей и программой

Логика алгоритма включает свойства, использованные для построения алгоритма. Логика программы является трансформацией логики алгоритма вследствие кодирования алгоритма в конструкциях и структурах данных языка программирования. Оптимизации, совершаемые в процессе кодирования алгоритма в императивной программе, обычно приводят к трансформации логики, усложняя (искривляя) ее.

Формальная семантика языка программирования признана элегантным и мощным формализмом, однако не для реально используемого императивного языка программирования. Для него денотационная семантика оказывается сложной и громоздкой из-за сложности самого языка, а аксиоматическая семантика может быть построена лишь для некоторого простого подмножества языка. Эта оценка, данная Джоном Бэкусом 30 лет назад в своей тьюринговской лекции [17], остается справедливой в настоящее время для современных императивных языков. Таким образом, императивные языки  это языки сложной и кривой логики, которую весьма трудно извлечь из программы.

Логическая семантика является простейшим способом определения логики программы. Логическая семантика есть функция LS, сопоставляющая каждой исполняемой конструкции S соответствующую формулу L_S на языке исчисления предикатов, т. е. LS(S) = L_S.

Определение логической семантики покажем на примере трех операторов языка исчисления вычислимых предикатов CCP ⁴ [3]. Подробное описание языка CCP будет дано в следующем разделе. Язык CCP определен как минимальное ядро, из которого можно породить любой чистый язык функционального программирования применением иерархической системы обозначений, свойственных языку. Таким способом определен язык предикатного программирования [7]; его описание будет дано в гл. 6.

Пусть A и B обозначают операторы, x, y и z  различные непересекающиеся наборы переменных. Обозначение A: x  y определяет оператор A с набором аргументов x и набором результатов y.

Оператор суперпозиции A; B определяет последовательное исполнение операторов A: x  z и B: z  y. Логическая семантика оператора суперпозиции определяется следующим образом:

LS(A; B)(x, y)  $z ( LS(A)(x, z) & LS(B)(z, y) ) . (2.1)

Параллельный оператор A || B определяет параллельное исполнение операторов A: x  y и B: x  z. Логическая семантика определяется формулой:

LS(A || B) (x, y, z)  LS(A)(x, y) & LS(B)(x, z) . (2.2)

Условный оператор if (C) A else B определяет исполнение одного из операторов A: x  y и B: x  y в зависимости от значения логического выражения C, зависящего от x. Логическая семантика определяется формулой

LS(if (C) A else B) (x, y)  (C Þ LS(A)(x, y)) & (ØC Þ LS(B)(x, y)) . (2.3)

Правильность построения логической семантики определяется сопоставлением с операционной семантикой языка программирования. Предикат RUN(S, x, y) обозначает следующее утверждение: существует такое исполнение конструкции S для набора значений x, которое завершается, и результатом исполнения является набор значений y. Данное определение допускает неоднозначность при исполнении S: в результате исполнения может быть получен другой набор y’, отличный от y.

Для конструкции S определим свойство согласованности (consistency) Cons(S): предикат LS(S) является истинным на наборах значений x и y тогда и только тогда, когда существует исполнение S для набора x, завершающееся вычислением набора значений y. Формально:

Cons(S)  x y (LS(S)(x, y)  RUN(S, x, y)) . (2.4)

Логическая семантика согласована с операционной семантикой, если свойство согласованности истинно для всех конструкций языка программирования.

Логическая и операционная семантика языка CCP и доказательство согласованности двух семантик описываются в следующем разделе.

Логическая семантика очевидным образом определяется для языков логического программирования. Однако в этом нет необходимости, поскольку логические формулы, входящие в программу, трактуются в общеизвестном математическом смысле. Построение логической семантики оказывается полезным лишь для нелогических особенностей логического программирования, таких как ситуация «неудачи» при ложном значении в Прологе; описание семантики с учетом данных особенностей дается в четырехзначной логике [14]. Логическая семантика может быть определена для языка предикативного программирования Э. Хехнера [15]. Программа там строится как результат последовательного уточнения (refinement) спецификации программы в виде логической формулы. Уточнения реализуются применением системы правил логического вывода.

Логическая семантика может быть построена для чистых ⁵ языков функционального программирования. Каждой конструкции языка функционального программирования можно сопоставить эквивалентную формулу на языке исчисления предикатов. Проблематично построение логической семантики для императивных языков. В логической формуле L_S для оператора S кроме переменных, явно встречающихся в операторе S, должны участвовать другие переменные, определяющие состояние памяти исполняемой императивной программы.