3.2. Наименьшая неподвижная точка

Далее будем считать, что (D, ⊑, ⊥) – полная решетка с наименьшим элементом, т. е. "a Î D. ⊥⊑ a.

Пусть F: D→D  произвольная тотальная (т. е. всюду определённая) функция на D. Функция F называется монотонной, если "a,b Î D. a ⊑ b Þ F(a) ⊑ F(b). Последовательность {a_m}_m³0 является возрастающей цепью, если a₀ ⊑ a₁ ⊑ … ⊑ a_m ⊑ … . Для натурального n и x Î D определим: F₀(x) = x, F_n+1(x) = F_n(F(x)).

Лемма 3.2. {F_n(⊥)}_n≥0 – для монотонной функции F определяют возрастающую цепь: ⊥⊑ F(⊥) ⊑ F₂(⊥) ⊑ … ⊑ F_n(⊥) ⊑ … .

Лемма 3.3. Если F монотонна и a₀ ⊑ a₁ ⊑ a₂ ⊑ … – возрастающая цепь, то F(a₀) ⊑ F(a₁) ⊑ F(a₂) ⊑ … – также возрастающая цепь.

Для наименьшей верхней грани цепи будем использовать обозначение: È_m³0a_m @ lub {a_m}_m³0. Здесь верхняя грань играет роль предела цепи.

Тотальная функция F: D→D называется непрерывной, если для любой возрастающей цепи {a_m}_m³0 выполняется равенство F(È_m³0a_m) = È_m³0 F(a_m).

Лемма 3.4. Непрерывная функция является монотонной.

Неподвижной точкой функции F называется решение уравнения x = F(x).

Теорема 3.1 Клини. Пусть F – непрерывная функция. Тогда È_n³0{F_n(⊥)} является наименьшей неподвижной точкой F.

3.3. Математическая индукция

Математическая индукция – это метод доказательства некоторого утверждения P(n) для всех значений натурального параметра n; n = 0, 1, 2, … . Доказательство проводится по следующей схеме.

• Начальный шаг: утверждение P(n) доказывается для n = 0 (база индукции);

• Индуктивный шаг: утверждение P(n) считается истинным для значения n (индуктивное предположение) и доказывается для значения n + 1.

Переменная n называется индукционной переменной. Метод математической индукции базируется на аксиоме индукции:

( P(0) & "k.[ P(k) Þ P(k + 1) ] ) Þ "n.P(n) . (3.2)

На практике используются различные обобщения метода в зависимости от природы утверждения P(n). База индукции может быть отлична от нуля. Шаг индукции может быть отрицательным. Индукционных переменных может быть несколько. Эти и другие особенности учитываются методами полной индукции и структурной индукции. Их доказательство реализуется применением классического метода математической индукции. Индукционное предположение для полной индукции определяет истинность P(j) для всех j  k; при его использовании требуется доказать P(k + 1).

Далее будем использовать метод, сочетающий структурную и полную индукцию. Пусть утверждение, которое требуется доказать, есть W(t); t Î X. Параметр t определяет одну или несколько индукционных переменных. На множестве X задан строгий частичный порядок ⊏, удовлетворяющий свойству (3.1) обрыва бесконечных убывающих цепей. Метод структурной (и полной) индукции определяется следующей формулой:

t Î X. [ (y Î X. y ⊏ t  W(y) )  W(t) ] . (3.3)

Если элемент t в формуле (3.3) является минимальным, то формула (3.3) вырождается в t Î X. W(t). Это значит, что для минимальных элементов доказательство W(t) надо проводить отдельно, что соответствует начальному шагу классической схемы. Пусть истинное значение предиката (t) определяет набор значений t, составляющих базу индукции, которая, по меньшей мере ¹¹, должна содержать все минимальные элементы. Тогда формула (3.3) переписывается в виде

t Î X. [ ((t)  W(t)) & y Î X. ((t) & y ⊏ t  W(y) )  W(t) ] . (3.4)

Формула (3.4) определяет общую схему доказательства по индукции.