2.5.3. Правила корректности для параллельного оператора

Рассмотрим спецификацию параллельного оператора в виде тройки Хоара:

{P(x)} A || B {Q(x, y, z)} ⁸ . (2.17)

Допустим, операторы A и B корректны. Их спецификации представлены тройками:

{P_A(x)} A {Q_A(x, y)} , {P_B(x)} B {Q_B(x, z)} .

Определим правила, гарантирующие корректность параллельного оператора.

Правило LP1. P(x) ├ P_A(x) & P_B(x).

Правило LP2. P(x) & Q(x, y, z) ├ Q_A(x, y).

Правило LP3. P(x) & Q(x, y, z) ├ Q_B(x, z).

Лемма 2.10. Допустим, спецификация параллельного оператора (2.17) реализуема, операторы A и B однозначны в области предусловий и корректны, а их спецификации  однозначны. Если правила LP1, LP2 и LP3 истинны (т. е. правая часть доказуема из левой части для каждого правила), то параллельный оператор (2.17) является корректным.

Доказательство. Поскольку операторы A и B однозначны, то и параллельный оператор (2.17) является однозначным. Поскольку спецификация оператора (2.17) реализуема, в соответствии с теоремой 2.1 для доказательства леммы достаточно доказать истинность формулы:

P(x) & Q(x, y, z) Þ LS(A || B)(x, y, z) .

В соответствии с (2.2) формула LS(A || B)(x, y, z) эквивалентна LS(A)(x, y) & LS(B)(x, z).

Пусть истинны P(x) и Q(x, y, z). Докажем истинность LS(A)(x, y) и LS(B)(x, z). Из истинности предусловия P(x) по правилу LP1 следует истинность P_A(x) и P_B(x). По правилам LP2 и LP3 становятся истинными Q_A(x, y) и Q_B(x, z). Для предикатов A и B выполняются условия леммы 2.9. Поэтому истинны формулы:

P_A(x) & Q_A(x, y) Þ LS(A)(x, y);

P_B(x) & Q_B(x, z) Þ LS(B)(x, z).

Поскольку посылки этих формул истинны, то истинны LS(A)(x, y) и LS(B)(x, z). □

2.5.4. Правила корректности для оператора суперпозиции

Рассмотрим спецификацию оператора суперпозиции в виде тройки Хоара:

{P(x)} A; B {Q(x, y)} ⁹ . (2.18)

Предположим, что операторы A и B корректны. Их спецификации представлены тройками:

{P_A(x)} A {Q_A(x, z)} , {P_B(z)} B {Q_B(z, y)} .

Определим правила, гарантирующие корректность оператора суперпозиции (2.18).

Правило LS1. P(x) ├ P_A(x).

Правило LS2. P(x) & Q(x, y) & Q_A(x, z) ├ P_B(z) & Q_B(z, y).

Лемма 2.11. Допустим, спецификация оператора суперпозиции (2.18) реализуема, операторы A и B однозначны в области предусловий и корректны, а их спецификация B однозначна. Если правила LS1 и LS2 истинны, то оператор суперпозиции (2.18) является корректным.

Доказательство. Поскольку операторы A и B однозначны, то и оператор суперпозиции (2.18) является однозначным. В соответствии с теоремой 2.1 для доказательства леммы достаточно доказать истинность формулы:

P(x) & Q(x, y) Þ LS(A; B)(x, y) .

В соответствии с (2.1) формула LS(A; B)(x, y) эквивалентна $z.(LS(A)(x, z) & LS(B)(z, y)).

Пусть истинны P(x) и Q(x, y). Докажем истинность $z.(LS(A)(x, z) & LS(B)(z, y)). Из истинности предусловия P(x) по правилу LS1 следует истинность P_A(x). Из корректности оператора A следует истинность формул $z. LS(A)(x, z) и LS(A)(x, z) Þ Q_A(x, z). Допустим для некоторого z₀ истинно LS(A)(x, z₀). Тогда истинно Q_A(x, z₀). В соответствии с правилом LS2 истинна формула P_B(z₀) & Q_B(z₀, y). В соответствии с леммой 2.9 истинна формула

P_B(z) & Q_B(z, y) Þ LS(B)(z, y) .

Тогда истинна LS(B)(z₀, y). В итоге, будет истинна формула $z.(LS(A)(x, z) & LS(B)(z, y)). □