14.Прогресії

Функцію, областю визначення якої є множина всіх натуральних чисел, називають числовою послідовністю. Зазвичай, числову послідовність задають її n - м елементом.  Прикладами числових послідовностей є арифметична та геометрична прогресії.

15.Арифметична прогресія

Арифметичною прогресією називають послідовність a₁,a₂,a₃,...,a_n,..., кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається одне й те саме число d, яке називають різницею арифметичної прогресії:

a_n+1 = a_n + d.

Наприклад, 1, 2, 3, 4, 5, 6,..., n,... - арифметична прогресія, в якій a₁ = 1, d = 1; 2, 4, 6,...,2n,... - арифметична прогресія, в якій a₁ = 2, d = 2. В арифметичній прогресії n-й член визначається формулою

a_n = a₁ + d(n - 1), 

де n - номер члена, a_n - n-й член, a₁ - перший член, d - різниця прогресії.

Кожний член арифметичною прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх членів: 

Сума перших n членів арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному першого і n-го членів цієї прогресії ,помноженому на їх кількість:

Суму перших членів арифметичної прогресії можна знайти і за формулою:

16.Геометрична прогресія

Геометричною прогресією називають послідовність b₁,b₂,b₃,...,b_n,..., кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число q (q ≠ 0, |q| ≠ 1), яке називають знаменником геометричної прогресії.

b_n+1 = b_n•q, де q ≠ 0, q ≠ 1.

Наприклад, 1, 3, 9,...,3^n-1,... - геометрична прогресія, в якій b₁ = 1,q = 3;

- геометрична прогресія, в якій

В геометричной прогресії n-й член визначається формулою

b_n = b₁•q^n-1,

де n - номер члена, b_n - n-й член, b₁ - перший член, q - знаменник прогресії.

Суму n перших членів геометричної прогресії можна знайти за формулою

Нескінченно спадна геометрична прогресія

Нескінченно спадна геометрична прогресія – це нескінченна геометрична прогресія, знаменник q якої за модулем є меншим від 1, тобто |q| < 1.

Сума всіх членів нескінченної спадної геометричної прогресії

S_n = b₁ + b₂ + ... + b_n + ...

є скінченним числом, яке визначається формулою

Похідною функції y = f(x) у точці Х називають число, до якого прямує відношення

Похідну функції f(x) позначають f'(x).

Фізичний зміст похідної. Якщо матеріальна точка рухається прямолінійно і її координата змінюється за законом S = S(t), то швидкість її руху v(t) у момент t дорівнює похідній S'(t):

v(t) = S'(t).

Геометричний зміст похідної: значення похідної функції y = f(x) у точці x0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x0: y' = f'(x0) = k = tgα.

Похідні основних елементарних функцій:

• (C)' = 0, де С - деяка стала;

• (x)' = 1;

• (e^x)' = e^x;

• (xⁿ)' = n•x^{n - 1};

• (sin x)' = cos x;

• (cos x)' = -sin x.

Основні правила диференціювання:

• (c•u)' = c•u';

• (u ± v)' = u' ± v';

• (u•v)' = u'v + uv';

• 

Похідна складної функції f(g(x)) обчислюється за правилом (f(g(x)))' = f'(g(x))•g'(x).

Застосування похідної для дослідження функцій Якщо y'(x) > 0, то функція зростає. Якщо y'(x) < 0, то функція спадає. Якщо y'(x) = 0 (або не існує), то в точці x = x₀ знаходиться екстремум функції (максимум або мінімум).

17. Первісна та визначений інтеграл

Функція F(x) називається первісною для функції f(x), якщо F'(x) = f(x), або записують (невизначений інтеграл)

Основні правила інтегрування:

Первісні деяких функцій:

•
•
•
•
•

Визначений інтеграл записується у вигляді формули Ньютона-Лейбніца

Основні властивості визначеного інтеграла:

•
•
•
•	Якщо a < c < b, то
•

	Геометричний зміст визначеного інтеграла:   де S- площа фігури, обмеженої графіком функції y = f(x) і прямими х = а, х = b і y = 0.
	Площа фігури, обмеженої графіками функцій f(x), g(x) і прямими х = а і х = b дорівнює:

Приклад