1.Корені

Арифметичним коренем n-го степеня з невід’ємного числа a називається невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює a, тобто запис

Наприклад,

В випадку, коли n=2 , корінь називається квадратним і позначається так: 

, тобто показник степеня не вказують.

Основні властивості коренів:

Для швидкого обчислювання виразів із степенями і коренями бажано знати степені деяких чисел:

2.Логарифми

Логарифмом додатного числа b за основою a (a > 0, a ≠ 1) називається показник степеня c, до якого треба піднести a, щоб одержати c.

Основна логарифмічна тотожність:

Властивості логарифмів:

Приклади:

Десятковими називаються логарифми за основою 10, позначаються lg.

Наприклад,

Натуральними називають логарифми за основою e ≈ 2,72, позначають ln.

Наприклад,

3.Одночлени і многочлени

Одночленом називають добуток чисел, змінних і їх натуральних степенів. 

Наприклад,

Степенню одночлена називають суму показників степенів усіх буквених множників, що входять до одночлена. 

Наприклад, степінь одночлена

д орівнює 3+1+2=6.

Многочленом називають алгебраїчну суму декількох одночленів.

Наприклад,

Члени многочлена, які відрізняються тільки коефіцієнтами, являються подібними.

Зведення подібних членів – це спрощення многочлена шляхом заміни суми подібних членів одним членом.Так, у многочлені

подібні перший і третій, також другий і четвертий члени.

Щоб помножити одночлен на одночлен, треба перемножити їх коефіцієнти і перемножити степені з однаковими основами.

Наприклад,

Щоб піднести одночлен до степеня, треба піднести його коефіцієнт до цього степеня і помножити показник степеня кожної букви на показник степеня, до якого підноситься одночлен.

Наприклад,

Щоб поділити одночлен на одночлен, треба поділити коефіцієнти діленого на коефіцієнт дільника, до знайденої частини приписати множниками кожну букву діленого з показником, що дорівнює різниці показників цієї букви у діленому і дільнику.

Наприклад,

При додаванні і відніманні многочленів користуються правилом розкриття дужок. Наприклад,

Щоб помножити одночлен на многочлен, треба кожний член многочлена помножити на цей одночлен і одержані одночлени додати.

Наприклад,

Щоб помножити многочлен на многочлен, треба кожний член одного многочлена помножити на кожний член другого многочлена і одержані члени додати.

Наприклад,

Щоб розділити многочлен на одночлен, треба кожний член многочлена розділити на цей одночлен і одержані результати додати.

Наприклад,

Розкладанням многочлена на множники називають подання многочлена у вигляді добутку многочленів. Для цього можна використовувати формули скороченого множення:

1.	a2 - b2 = (a - b)(a + b) Наприклад, 16a2 - 9b2 = (4a - 3b)(4a + 3b)
2.	(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Наприклад, (2a + 3b)2 = 4a2 + 12ab + b2
3.	(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Наприклад, (2a - 3b)2 = 4a2 - 12ab + b2
4.	a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) Наприклад, 8a3 + 27b3 = (2a + 3b)(4a2 - 6ab + 9b2)
5.	a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) Наприклад, 8a3 - 27b3 = (2a - 3b)(4a2 + 6ab + 9b2)
6.	(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Наприклад, (2a + 3b)3 = 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3
7.	(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 + b3 Наприклад, (2a - 3b)3 = 8a3 - 36a2b + 54ab2 + 27b3

4.Алгебраїчний дріб

Алгебраїчним називають дріб, чисельник і знаменник якого є алгебраїчні вирази.

Наприклад,

Передбачається, що букви, які використовуються в записі алгебраїчного дробу, можуть набувати тільки таких значень, за яких знаменник цього дробу не дорівнює нулю.

При множенні чисельника і знаменника дробу на один і той же самий алгебраїчний вираз одержуємо дріб, що дорівнює даному дробу.

Наприклад,

Використовуючи цю основну властивість дробу, можна скорочувати алгебраїчні дроби на спільний множник чисельника і знаменника.

Наприклад,

Якщо змінити знак чисельника або знаменника дробу і знак перед дробом, то одержимо вираз, тотожно рівний даному:

Щоб додати (відняти) дроби з однаковими знаменниками, треба додати (відняти) їх чисельники, а знаменник залишити той самий.

Наприклад,

Щоб додати (відняти) дроби з різними знаменниками, треба:

1. розкласти на множники чисельник і знаменник кожного дробу;

2. скоротити множники в чисельнику і знаменнику кожного дробу;

3. знайти і записати спільний знаменник дробів;

4. знайти і записати додаткові множники для кожного дробу;

5. записати суму (різницю) добутків чисельників і додаткових множників, ураховуючи знаки;

6. спростити (якщо можливо) одержаний дріб.

Наприклад,

Щоб помножити дріб на дріб, треба перемножити їх чисельники і перемножити їх знаменники, перший добуток записати чисельником, а другий – знаменником дробу. 

Наприклад,

Щоб розділити один дріб на другий, треба перший дріб помножити на дріб, обернений до другого.

Наприклад,

5.Проценти

Соту частину будь-якої величини або числа називають відсотком (процентом). Це слово замінюють знаком %.

Щоб перетворити десятковий дріб на відсотки, його треба помножити на 100. Наприклад, 0,45 = 45%; 0,06 = 6%; 1,5 = 150%.

Щоб перетворити відсотки на десятковий дріб, треба число відсотків розділити на 100. Наприклад, 40% = 0,4; 5% = 0,05; 120% = 1,2.

Є три основні задачі на відсотки:

1. Знаходження частини b за відомим її відсотком q від даного числа a.

Приклад. Знайти 30% від числа 180

2. Знаходження всього числа а за відомою частиною b і числом відповідних відсотків q.

Приклад. Знайти число, 20% якого складає 24

3. Знаходження відсотка числа b від числа а.

Приклад. Скільки процентів складає число 0,5 від 20?

6.Рівняння

Рівнянням називають рівність, яка містить змінну (невідоме).

Наприклад,

- рівняння.

Розв’язком (коренем) рівняння називають значення змінної, при підстановці якого в рівняння одержують правильну числову рівність.

Наприклад, число 3 – корінь рівняння

Розв’язати рівняння означає знайти його корені, або довести, що їх немає.

Два рівняння називають рівносильними, якщо множини їх розв’язків співпадають. Наприклад, рівняння x + 2 = 3 і x - 1 = 0 рівносильні, оскільки вони мають спільний корінь 1 і інших коренів не мають. Розв`язування будь-якого рівняння, як правило, зводиться до заміни його рівносильним рівнянням.

7.Основні теореми про рівносильність рівняння

1. Якщо до обох частин рівняння додати одне й те саме число чи вираз із змінною, то дістанемо рівняння, рівносильне даному. Наприклад, рівняння x + 1 = 3 рівносильне рівнянню x = 2, оскільки друге рівняння можна одержати з першого рівняння додаванням до обох частин першого рівняння числа -1 (або перше рівняння можна одержати з другого додаванням до обох частин другого рівняння числа 1).

2. Якщо з однієї частини рівняння перенести в другу частину доданок з протилежним знаком, то дістанемо рівняння, рівносильне даному рівнянню.  Наприклад, рівняння x - 3 = 7 рівносильне рівнянню x = 7 + 3, тобто рівнянню x = 10.

3. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме число, що не дорівнює нулю, чи на вираз із змінною, який не перетворюється на нуль за жодного значення змінної і не втрачає змісту на множині допустимих значень змінної для даного рівняння, то дістанемо рівняння, рівносильне даному. Наприклад, рівняння 5x = 20 рівносильне рівнянню 5x : 5 = 20 : 5, тобто рівнянню x = 4; 

рівняння

р івносильне рівнянню

, тобто рівнянню x = -10.

Два рівняння з двома змінними (невідомими) називають системою рівнянь з двома змінними (невідомими).

Наприклад,

Розв'язком цієї системи називають пару значень змінних, яка перетворює кожне рівняння системи в правильну рівність. Наприклад, пара чисел x = 3, y = 1 є розв'язком приведеної вище системи рівнянь. Системи рівнянь розв`язують такими способами: графічним, підстановки, додавання.

8.Рівняння

Рівнянням називають рівність, яка містить змінну (невідоме).

Наприклад,

- рівняння.

Розв’язком (коренем) рівняння називають значення змінної, при підстановці якого в рівняння одержують правильну числову рівність.

Наприклад, число 3 – корінь рівняння

Розв’язати рівняння означає знайти його корені, або довести, що їх немає.

Два рівняння називають рівносильними, якщо множини їх розв’язків співпадають. Наприклад, рівняння x + 2 = 3 і x - 1 = 0 рівносильні, оскільки вони мають спільний корінь 1 і інших коренів не мають. Розв`язування будь-якого рівняння, як правило, зводиться до заміни його рівносильним рівнянням.

9.Основні теореми про рівносильність рівняння

1. Якщо до обох частин рівняння додати одне й те саме число чи вираз із змінною, то дістанемо рівняння, рівносильне даному. Наприклад, рівняння x + 1 = 3 рівносильне рівнянню x = 2, оскільки друге рівняння можна одержати з першого рівняння додаванням до обох частин першого рівняння числа -1 (або перше рівняння можна одержати з другого додаванням до обох частин другого рівняння числа 1).

2. Якщо з однієї частини рівняння перенести в другу частину доданок з протилежним знаком, то дістанемо рівняння, рівносильне даному рівнянню.  Наприклад, рівняння x - 3 = 7 рівносильне рівнянню x = 7 + 3, тобто рівнянню x = 10.

3. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме число, що не дорівнює нулю, чи на вираз із змінною, який не перетворюється на нуль за жодного значення змінної і не втрачає змісту на множині допустимих значень змінної для даного рівняння, то дістанемо рівняння, рівносильне даному. Наприклад, рівняння 5x = 20 рівносильне рівнянню 5x : 5 = 20 : 5, тобто рівнянню x = 4; 

рівняння

р івносильне рівнянню

, тобто рівнянню x = -10.

Два рівняння з двома змінними (невідомими) називають системою рівнянь з двома змінними (невідомими).

Наприклад,

Розв'язком цієї системи називають пару значень змінних, яка перетворює кожне рівняння системи в правильну рівність. Наприклад, пара чисел x = 3, y = 1 є розв'язком приведеної вище системи рівнянь. Системи рівнянь розв`язують такими способами: графічним, підстановки, додавання.

Нерівністю зі змінною (невідомим) називають два вирази зі змінною (невідомим), між якими стоїть один із знаків нерівності:

> (більше),  < (менше),  ≥ (більше або дорівнює; не менше),  ≤ (менше або дорівнює; не більше).

Наприклад,

- нерівності.

Розв’язком нерівності називають значення змінної, яке перетворює його в правильну числову нерівність. Наприклад, число 2 – розв’язок нерівності x + 3 > 4.

Розв’язування нерівностей

Розв’язати нерівність з однією змінною означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає. Нижче в таблиці наведено деякі числові підмножини, їх позначення, зображення на координатній прямій і запис у вигляді нерівності.

Назва	Позначення	Зображення	Запис у вигляді нерівності
Числова пряма R	(-∞; +∞), R		-∞ < x < +∞
Замкнутий проміжок (відрізок)	[a; b]		a ≤ x ≤ b
Відкритий проміжок (відрізок)	(a; b)		a < x < b
Напіввідкритий проміжок	[a; b)		a ≤ x < b
Напіввідкритий проміжок	(a; b]		a < x ≤ b
Нескінченний проміжок (промінь)	(-∞; a)		x < a
Нескінченний проміжок (промінь)	(-∞; a]		x ≤ a
Нескінченний проміжок (промінь)	(a; +∞)		x > a
Нескінченний проміжок (промінь)	[a; +∞)		x ≥ a

Розв’язування нерівностей, як правило, зводиться до зміни даної нерівності нерівністю, яка їй рівносильна.

Рівносильні нерівності

Нерівності, які мають одні й ті самі розв’язки, називають рівносильними. Нерівності, які не мають розв’язків, також вважають рівносильними.

Нерівності мають такі властивості:

1. Якщо з однієї частини нерівності перенести в другу доданок з протилежним знаком, то одержимо рівносильну їй нерівність. Наприклад, нерівність x + 2 > 3 рівносильна нерівності x + 2 - 2 > 3 - 2, тобто x > 1.

2. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то одержимо рівносильну їй нерівність.

Наприклад,

р івносильна нерівності

т обто x > 6.

3. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то одержимо рівносильну їй нерівність.  Наприклад, нерівність -2x < 10 рівносильна нерівності -2x:(-2) > 10:(-2), тобто x > -5.

Щоб розв'язати систему двох нерівностей з одним невідомим, потрібно розв'язати кожну із нерівностей окремо і взяти спільну частину множини всіх їх розв'язків. Приклад. Розв'язати систему нерівностей

Тому

- розв'язки системи нерівностей.

У процесі розв`язання рівнянь, нерівностей та їхніх систем застосовуються загальні методи та прийоми (розкладання на множники, заміна змінної, застосування властивостей функцій). Наприклад, при розв`язанні лінійних і квадратних рівнянь краще користуватися графічним методом розв`язання.

При пошуку розв`язання показових рівнянь і нерівностей вони зводяться до однієї основи, тобто до рівняння виду

, яке рівносильне рівнянню f(x) = g(x).

При розв`язанні логарифмічних рівнянь і нерівностей вони також зводяться до однієї основи, тобто до виду

, яке рівносильне рівнянню f(x) = g(x).

При розв`язанні рівнянь і нерівностей, які містять корень n-й степені, від цих степенів звільняються шляхом піднесення обох частин рівності (нерівності) до n-го степеня.

10.Функції

Залежність змінної y від змінної x називається функцією, якщо кожному значенню x відповідає єдине значення y. При цьому xназивають аргументом (незалежною змінною), y - функцією (залежною змінною).

Область визначення функції – це всі значення, які може приймати аргумент (змінна x). Область значень функції - це всі значення, які може приймати функція (змінна y) при всіх x із області визначення функції.

Функцію можна задати за допомогою таблиці, графіка, формули. Формула задає правило, за яким кожному значенню аргументу xставиться у відповідність значення функції y.

Наприклад,

т ощо.

При табличному способі залежність між змінними часто встановлюється експериментально або шляхом спостережень.

Графіком функції y = f(x) називається множина всіх точок координатної площини (x, f(x)), у яких абсциси належать області визначення функції, а ординати дорівнюють відповідним значенням функції.

	Функцію y = f(x) називають парною, якщо для деяких значень x і (-x) з її області визначення виконується рівність f(x) = f(-x).
	Функцію y = f(x) називають непарною, якщо для деяких значень x і (-x) з її області визначення виконується рівність f(-x) = -f(x).
	Функцію y = f(x) називають зростаючою, якщо більшому значенню аргументу xвідповідає більше значення функції y = f(x).
	Функцію y = f(x) називають спадною, якщо більшому значенню аргументу x відповідає менше значення функції y = f(x).
	Функцію y = f(x) називають періодичною з періодом T, якщо для будь-яких x, x + T, x - T виконується рівність f(x) = f(x + T) = f(x - T).
	Якщо в формулі y = f(x) поміняти місцями x і y, то одержимо нову функцію g(x),обернену до даної. Наприклад, оберненою до функції y = 3x - 1 є функція y = (x + 1)/3 . Графіки даної функції і функції оберненої до даної симетричні відносно прямої y = x.

Якщо при деякому x функція y = f(x) набуває найбільшого значення, то цю точку називають точкою максимуму цієї функції і позначають x_max.

Якщо в точці x = x₀ функція y = f(x) набуває найменшого значення, то цю точку називають точкою мінімуму функції і позначають x_min.

Точки максимуму і точки мінімуму називають точками екстремуму функції. Значення функції в цих точках позначають y_max і y_min.