Экзамен / Шпоры по математике / shpora_ryady_i_difury

1. Предел числовой последовательности и его свойства. Арифметические действия с пределами.

Опр1: Совокупность значений ф-и a_n=f(n) натурального аргумента n наз-ся числовой последовательностью и обозначается а₁,а₂,..а_n или кратко { а_n }

Опр2: Число А наз-ся пределом последовательности { а_n }, если для любого сколь угодно малого ε>0 существует такое число N, что для всех номеров n>N выполняется условие

‌‌| а_n-A|< ε

Арифметические действия:

Если последовательности { а_n } и { b_n } имеют предел, то имеют предел следующие последовательности:{ а_n + b_n },{ а_n - b_n },{ а_n * b_n },

{ а_n / b_n } при условии b_n≠0. Причем

Док-во 1)

Согласно опр это означает, что

2. Числовой ряд. Сходимость ряда. Сумма ряда. Остаточный член ряда. Необходимый и достаточный признак сходимости ряда. Сложение и умножение на число сходящихся рядов.

Числовой ряд. Рассмотрим произвольную числовую последовательность и формально составим сумму ее членов Это выражение называют числовым рядом, или просто рядом. Члены последовательности называют членами ряда. Конечно, невозможно вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, но легко вычислить сумму первых n членов ряда . Эта сумма называется n-ой частичной суммой.

Сходимость числового ряда. Ряд называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательности частичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают . Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится. n-ым остатком сходящегося ряда называется ряд , получ из данного отбрасыванием первых его членов. Обозначается R_n. Очевидно, что для сходящегося ряда . Это означает, что сумму сходящегося ряда можно вычислить с любой точностью, заменяя ее частичной суммой соответствующего порядка. Для расходящегося ряда это не так. Поэтому сходимость или расходимость конкретного ряда является основным вопросом для исследования. Если ряд сходится, то предел общего члена равен 0 (необходимое условие сходимости ряда). Обратное, вообще говоря, неверно. Члены ряда могут стремиться к нулю, но ряд при этом может расходиться. Необходимый признак в достаточной форме: если предел не равен 0, то ряд расходится.

Суммирование числовых рядов. Если возможно найти общий член последовательности a_n, то по определению можно найти и сумму ряда, вычисляя предел этой последовательности.

3. Числовой ряд. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Примеры.

Числовой ряд. Рассмотрим произвольную числовую последовательность и формально составим сумму ее членов Это выражение называют числовым рядом, или просто рядом. Члены последовательности называют членами ряда. Конечно, невозможно вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, но легко вычислить сумму первых n членов ряда . Эта сумма называется n-ой частичной суммой.

Сходимость числового ряда. Ряд называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательностичастичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают . Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится.

. Если ряд сходится, то предел общего члена равен 0 (необходимое условие сходимости ряда).

Док-во: Т.к. ряд сходится, то сущ пределы и . Т.к. суммы отличаются на слагаемое a_n=S_n-S_n-1, то

Пример

расходится

4. Признаки сравнения для рядов с положительными членами.

1. Рассмотрим два числовых ряда с неотрицательными членами . Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). Наоборот, из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

2. Если для таких же двух рядов,

существует конечный отличный от 0 предел отношений общих членов данных рядов то оба ряда или сходятся или расходятся одновременно. При использовании теорем сравнения нужно иметь ряд-эталон, с которым сравнивать и про сходимость которого известно заранее. В качестве таких рядов чаще всего берут обобщенный гармонический ряд , который сходится при p>1 и расходится при p≤1, или геометрический ряд , который сходится при |q|≤1 и расходится при |q|≥1.

(Т.к. это геом прогрессия, то сумма S_n при |q|≠1

7. Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость. Условная сходимость. Примеры. Действия с абсолютно сходящимися рядами.

Абсолютная и условная сходимость.

Опр: Ряд c членами произвольных знаков наз-ся знакопеременным.

Опр: Ряд , где значения U_n - числа одного знака,называется знакочередующимся. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд. Если ряд из модулей расходится, а сам ряд сходится, то его называют условно сходящимся. Исследование знакопеременного ряда начинают с исследования на сходимость ряда из модулей методами для рядов с неотрицательными членами. Если такой ряд сходится, то получен ответ: ряд сходится абсолютно.

Действия с абсолютно сходящимися рядами:

1)Если ряд абс сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S.

2) Абс сходящиеся ряды с суммами S₁ и S₂ можно почленно складывать(вычитать), в результате чего получается абс сходящийся ряд,сумма которого S₁ + S₂ (S₁ - S₂)

3)Под произведением 2 рядов a₁+ a₂+.. + a_n и b₂+ b₁+..+ b_n понимают ряд вида (a₁b₁)+( a₁b₂+ a₂b₁)+( a₁b₃+ a₂b₂+ a₃b₁)+…+( a₁b_n+ a₂b_n-1+…+ a_nb₁)+…

Произведение 2 абс сходящихся рядов с суммами S₁ и S₂ есть абс сходящийся ряд с суммой S₁ * S₂

5. Признаки Даламбера и Коши.

Признак сходимости Даламбера. Пусть члены ряда неотрицательны. Если существует

то 1) при ρ<1 ряд сходится

2) при ρ>1 расходится

3) при ρ=1 нужны доп исследования

Док-во

1) пусть ρ<1, то существует q такое что ρ<q<1

Т.к. сущ , это означает что для любого ε>0 и в частности для ε=q-ρ найдется такой номер N, что для любого n>N будет спроаведливо нер-во

В частности

С некоторого номера n>N члены данного ряда меньше членов сход геом прогрессии

Следовательно на основании 1го признака сравнения, исслед ряд сходится.

2) пусть ρ>1. Это означает, что, начиная с некоторого номера будет спроаведливо нер-во

и т.к. каждый последующий член ряда больше предыдущего, то

. Необходимый признак сходимости не выполняется => ряд расходится

3) ρ=1 возможны случаи сходимости и расходимости:

а) рассм сход ряд

тогда

б) рассм расход ряд тогда

Радикальный признак сходимости Коши. Пусть

члены ряда

1) при ρ<1 ряд сходится

2) при ρ>1 расходится

3) при ρ=1 нужны доп исследования

Док-во

1)пусть ρ<1. Возьмем q удовл нер-ву ρ<q<1. Т.к. , то, начиная с некоторого номера будем иметь нер-во

Это нер-во показывает, что члены данного ряда, начиная с некоторого меньше соответствующих членов сходящейся геом прогрессии На основании 1 пр-ка сходимости данный ряд сход

2) пусть ρ>1. Это означает, что, начиная с некоторого номера, будет справедливо нер-во , т.е. не выполняется необходимое условие сходимости ряда, следовательно данный ряд расходится.

Интегральный признак Коши.

Пусть имеется ряд, члены которого монотонно не возрастают. Пусть имеется функция f(x), x в интервале [1,∞], монотонно не возрастающая и нерперывная на этом интервале, причем

Тогда для сходимости исходного ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился интеграл

Замечание: функция может быть задана на промежутке [с,∞], тогда необходимо рассматривать интеграл .

Доказательство: рассмотрим ряд (2)Из свойств f(x) можно написать:

Интегрируя это неравенство на заданном промежутке, получим

Если (2) сходится, то из правой части неравенств по 1 признаку сравнения мы получаем, что исходный ряд сходится.

Если (2) расходится, то из левой части неравенств по 1 признаку сравнения мы получаем, что исходный ряд расходится.

8. Знакочередующийся ряд. Теорема Лейбница. Оценка остатка ряда.

Ряд называется знакочередующимся.

Теорема Лейбница

Если все члены знакочеред ряда

в которой все положительные числа U_n монотонно убывают по абсолют величине U₁≥ U₂≥ U₃≥.. U_n≥..

и если то ряд сходится.

Док-во

Докажем что сущ предел последовательности «четных» частичных сумм S_2n ряда при n→∞

=> S_2n монотонно возрастает с ростом n, кроме того

=> все частичные суммы S_2n ограничены числом U₁, т.е. S_2n ≤ U₁. Т.к. последовательность «четных» частичных сумм монотонна и ограничена, то она имеет предел Но тогда сущ предел «нечетных» частичных сумм S_2n-1 и он также равен S. Т.к. предел

Независимость от «четности» или «нечетности» частичной суммы S_n при n→∞ предел существует и равен S => ряд сходится. Чтд.

Оценка остатка ряда

- остаток знакочеред ряда – есть новый знакочер ряд и т.к. абс величина суммы знакочеред ряда не превосходит абс величины его первого члена, то

Вывод: при замене суммы знакочередующегося ряда суммой первых его n-членов получается ошибка, модуль которой не превосходит абс величины первого отброшенного члена ряда.

6. Интегральных признак Коши. Его применение.

Интегральный признак Коши.

Пусть имеется ряд , члены которого монотонно не возрастают. Пусть имеется функция f(x), x в интервале [1,∞], монотонно не возрастающая и нерперывная на этом интервале, причем

Тогда для сходимости исходного ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился интеграл

Замечание: функция может быть задана на промежутке [с,∞], тогда необходимо рассматривать интеграл .

Доказательство: рассмотрим ряд (2)Из свойств f(x) можно написать:

Интегрируя это неравенство на заданном промежутке, получим

Если (2) сходится, то из правой части неравенств по 1 признаку сравнения мы получаем, что исходный ряд сходится.

Если (2) расходится, то из левой части неравенств по 1 признаку сравнения мы получаем, что исходный ряд расходится.

Применим это признак а обобщенному гарм ряду

тогда несобств интеграл

рассмотрим гарм ряд (р=1)

ряд расходится при р=1

9. Функциональный ряд. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.

Функциональный ряд, его сходимость. Рассмотрим ряд, , членами которого являются функции, определенные на некотором множестве D.Множество значений х, для которого функц ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Равномерная сходимость функционального ряда. Пусть, т.е. функциональный ряд сходится. Если для найдется такое число N независимо от x и такое, что для выполняется неравенство, то говорят, что функциональный ряд сходится равномерно на множестве .

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда: Если члены функционального рада в некотором промежутке Е не превосходит по абс величине соотв членов сход числового ряда с положительными членами, т.е. если

для всех , то данный ряд сходится в этом промежутке равномерно.

10. Степенной ряд. Теорема Абеля. Область сходимости. Равномерная сходимость.

Функциональный ряд вида (1) или (2), называется степенным рядом.

(1) сходится при х=0.

Т.Абеля:

1)Пусть (1) сходится абс при Тогда он сходится для . 2)Пусть (1) расходится при Тогда он расходится для

Док-во: 1)Пусть (1) сходится при , т.е.

сходится => по необходимому признаку

=> последовательность сходящаяся. => она ограничена, т.е.

Пусть

Это геом. прогрессия. Она сходится, т.к.

Для достаточно больших n. По 1 признаку сравнения сходится для => (1) сходится для .

2)Пусть (1) в точке расходится. Докажем, что для он также расходится.

Предположим противное: (1) сходится в Тогда по 1-ой части теоремы он должен сходится и в точке , что неверно => (1) расходится для.

Степенной ряд сходится на интервале (-R;R) с центром в точке. Число R- радиус сходимости степенного ряда может быть вычислено по формулам

, или. Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости. Сходимость степенного ряда на границах интервала сходимости необходимо исследовать специально для конкретного ряда.

11. Непрерывность суммы степенного ряда. Интегрирование и дифференцирование степенного ряда.

Рассмотрим степенной ряд , сходящийся в Тогда , т.е. сумма ряда – функция.

1).S(x) непрерывная функция в любом замкнутом промежутке, принадлежащем интервалу

2) ряд (1) можно дифференцировать почленно внутри интервала сходимости, при этом радиус сходимости не изменяется

3) ряд (1) можно интегрировать почленно по любому промежутку (a,b), лежащему в интервале сходимости, при этом радиус сходимости полученного ряда остается прежним.

13. Ряд Тейлора. Достаточное условие разложения в ряд Тейлора. Примеры разложения основных функций в ряд Тейлора.

. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и имеет в этой точке производные всех порядков. Ряд

называется рядом Тейлора для функции f(x) в точке x₀. При x₀ =0 такой ряд называют также рядом Маклорена. Функция f(x) может быть разложена в степенной ряд на интервале, если существует степенной ряд, сходящийся к f(x) на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки x₀, то это ряд Тейлора.

Дост. условие разложимости:

Если производные всех порядков ф-и f(x) ограничены в некоторой окрестности точки x=x₀ одним и тем же числом M>0, то ф-я f(x) разложима в этой окрестности в ряд Тейлора.

Док-во Требуется доказать рав-во

По условию теоремы для

поэтому

но т.к. ряд с общим членом сход для всех х. В этом легко убедиться с помощью признака Даламбера.

ряд сходится => R_n(x)→0 чтд

Разложение основных элементарных функций

12. Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора. Необходимое и достаточное условие разложения в ряд Тейлора. Примеры разложения основных функций в ряд Тейлора.

Разложение функций в ряд Тейлора. При исследовании свойств бесконечно дифференцируемых функций изучают их степенные ряды ряды Тейлора. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и имеет в этой точке производные всех порядков. Ряд

называется рядом Тейлора для функции f(x) в точке x₀. При x₀ =0 такой ряд называют также рядом Маклорена. Функция f(x) может быть разложена в степенной ряд на интервале, если существует степенной ряд, сходящийся к f(x) на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки x₀, то это ряд Тейлора.

Необх.и дост. условие разложимости: если ф-я разложима в ряд Тейлора в окрестности U(х₀,) необх. и дост., чтобы R_n – остаточный член ряда Тейлора

Дост. условие разложимости:

Если производные всех порядков ф-и f(x) ограничены в некоторой окрестности точки x=x₀ одним и тем же числом M>0, то ф-я f(x) разложима в этой окрестности в ряд Тейлора.

товыполняется

Разложение основных элементарных функций