Упражнения

1. В урне 3 белых и 5 черных шаров. По очереди вынимаются два шара без возвращения. Какова вероятность, что: а) первый шар белый, а второй черный; б) первый шар черный, а второй белый?

2. В первой урне 3 белых и 5 черных шаров, во второй – 2 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую случайным образом переложен один шар, затем извлечен шар из второй урны. Какова вероятность, что оба этих шара белые?

3. Слово «ананас» составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами перемешиваются и из них случайным образом берутся по очереди три карточки и выкладываются в ряд. Какова вероятность, что из них образуется слово «сан»?

4. Из карточек с буквами составлено слово «колокол». Карточки перемешиваются, из них случайным образом отбираются четыре и выкладываются в ряд. Какова вероятность, что они образуют слово «клок»?

1.7Формула полной вероятности

При подсчете вероятностей имеет место важный случай, когда вероятность искомого события зависит от того, какое из нескольких возможных событий имело место.

2. Полной группой событий называется совокупность попарно несовместных событий, в сумме дающих достоверное событие.

6. 1.7.1 (формула полной вероятности). Пусть события Н₁, … , Н_n, называемые гипотезами, образуют полную группу событий. Тогда вероятность любого события А вычисляется по формуле

P(A) = .

На практике в качестве гипотез выбирают события, по разному влияющие на вероятность события А.

1. На сборку поступают детали из двух цехов: 30% из первого и 70% из второго. В продукции первого цеха 3% брака, второго – 2%. Какова вероятность, что наудачу взятая деталь окажется бракованной?

Решение. Вводим события:

Н₁ – деталь поступила из первого цеха;

Н₂ – деталь поступила из второго цеха;

А – деталь бракованная.

По формуле полной вероятности получаем

P(A) = = 0,3 ^. 0,03 + 0,7 ^. 0,02 = 0,009 + 0,014 = 0,023.

Часто представляет интерес обратная задача: найти вероятность данной гипотезы при условии, что итоговое событие произошло.

7. 1.7.2 (формула Байеса). Пусть в условиях теоремы 1.7.1 событие произошло. Тогда вероятность гипотезы H_i вычисляется по формуле

,

где Р(А) вычисляется по формуле полной вероятности.

2. В условиях примера 1 наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность, что она из второго цеха?

Решение. Пользуясь обозначениями из решения примера 1, получаем:

.

Упражнения

1. В магазин поступили партии обуви с двух фабрик: 30% с первой и 70% со второй. В продукции первой фабрики 30% обуви коричневого цвета, второй – 80%. Какова вероятность, что наудачу взятая пара обуви окажется коричневого цвета?

2. В группе спортсменов 20 лыжников и 8 бегунов. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника равна 0,8, для бегуна – 0,7. Какова вероятность того, что наудачу отобранный спортсмен выполнит норму?

3. Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 – во втором, остальные – в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь будет отличного качества?

4. В первой коробке 3 белых и 4 черных шара, во второй – 5 белых и 2 черных. Из наудачу выбранной коробки случайным образом извлекли один шар. Какова вероятность, что он белый?

5. В первой коробке 3 белых и 4 черных шара, во второй – 5 белых и 2 черных. Из первой коробки во вторую случайным образом переложили один шар, перемешали и извлекли шар из второй коробки. Какова вероятность, что он белый?

6. В группе спортсменов 20 лыжников и 8 бегунов. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника равна 0,8, для бегуна – 0,7. Наудачу отобранный спортсмен выполнил норму Какова вероятность, что он лыжник?

7. В первой коробке 3 белых и 4 черных шара, во второй – 5 белых и 2 черных. Из наудачу выбранной коробки случайным образом извлекли один шар, который оказался белым. Какова вероятность, что была выбрана первая коробка?

8. В первой коробке 3 белых и 4 черных шара, во второй – 5 белых и 2 черных. Из первой коробки во вторую случайным образом переложили один шар, перемешали и извлекли шар из второй коробки. Он оказался черным. Какова вероятность, что из первой коробки во вторую переложили черный шар?

9. Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 – во втором, остальные – в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,6. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества Какова вероятность, что она сделана в первом цехе?