Упражнения

1. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятности попадания для них равны соответственно 0,4 и 0,5. Какова вероятность: а) хотя бы одного попадания; б) двух попаданий; в) ровно одного попадания; г) двух промахов?

2. Имеется два ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Какова вероятность, что: а) они обе стандартные; б) хотя бы одна стандартная; в) ровно одна стандартная; г) они обе нестандартные?

3. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность, что будет вынут туз или карта пиковой масти?

4. Какова вероятность, что наудачу выбранное натуральное число делится на 2 или на 5?

1.6Условная вероятность

Рассмотрим случай, когда события не являются независимыми. Пусть, например, студент Иванов подготовил к экзамену 20 вопросов из 25, и в билет входит один вопрос. Тогда вероятность того, что студенту достанется хороший билет (событие А) равна 20/25 = 4/5. Пусть теперь студент выбирает билет вторым в очереди. Тогда вероятность события А зависит от того, какой билет вытянул первый студент Петров. Если он вытянул билет, который знает Иванов (событие В), то для Иванова вероятность вытянуть хороший билет понижается: из 24 оставшихся вопросов он знает 19, и вероятность события А будет равна 19/24. Эта вероятность называется условной и обозначается Р_В(А) или Р(АВ) (читается «вероятность А при условии В»). Если же Петров вытянет билет, не подготовленный Ивановым (событие ), то для Иванова вероятность вытянуть хороший билет повышается: = 20/24 = 5/6.

В общем случае условная вероятность определяется формулой

Р_В(А) = . (1)

В частности, если события независимы, получаем

Р_В(А) = = = Р(А).

Из формулы (1) немедленно получаем формулу для вероятности произведения двух событий:

4. 1.6.1. Р(АВ) = Р_В(А)Р(В).

Особенность этой формулы в том, что в левую ее часть А и В входят симметрично, а в правую – не симметрично. Поэтому можно поменять А и В местами, и получим другую формулу для вероятности произведения двух событий:

Р(АВ) = Р(А)Р_А(В).

При решении задач можно пользоваться любой из этих формул.

1. Вероятность попадания в стоящее полено снежком равна 0,3. При попадании вероятность повалить полено равна 0,5. Какова вероятность, что полено будет повалено при одном бросании снежка?

Решение. Вводим события:

А – попадание в полено;

В – полено повалено.

В условии задачи даны вероятности: Р(А) = 0,3; Р_А(В) = 0,5. Поэтому искомая вероятность

Р(АВ) = Р(А)Р_А(В) = 0,3 ^. 0,5 = 0,15.

Теорема 1.6.1 может быть обобщена на случай произведения нескольких событий:

5. 1.6.2. Р(А₁А₂ … А_n) = .

Несмотря на кажущуюся сложность этой формулы, суть ее очень простая и легко проясняется на следующем примере:

2. Из карточек с буквами выложено слово ТЕТЕРЕВ. Карточки перемешиваются, наугад извлекаются 4 карточки и выкладываются в ряд. Какова вероятность, что из них образуется слово ВЕЕР?

Решение. Вводим события:

А₁ – 1-я буква В;

А₂ – 2-я буква Е;

А₃ – 3-я буква Е;

А₄ – 4-я буква Р;

В – получилось слово ВЕЕР.

Тогда В = А₁А₂А₃А₄, и Р(В) = . Здесь каждая условная вероятность в произведении есть вероятность вытащить нужную букву при условии, что все предыдущие буквы вынуты правильно. Она вычисляется по классической формуле: в знаменателе стоит общее число оставшихся букв, в числителе – число нужных букв. Имеем

Р(В) = .