Упражнения

1. Какова вероятность, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет не более 4 очков?

2. Куб с ребром 3 покрашен и распилен на 64 единичных кубика. Какова вероятность, что у наудачу взятого кубика ровно а) одна; б) две; в) три окрашенные грани?

3. Какова вероятность, что наудачу выбранное трехзначное число состоит из различных нечетных цифр?

4. Из карточек с буквами составлено слово ПРИВАЛ. Карточки перемешиваются, наугад извлекаются три и выкладываются в ряд. Какова вероятность, что на них образуется слово ПАР?

5. В урне 5 белых и 3 черных шара. Наугад извлекаются два шара. Какова вероятность, что они а) разного; б) белого; в) одинакового цвета?

6. В урне 5 белых, 4 красных и 3 черных шара. Наугад извлекаются три шара. Какова вероятность, что они а) разного; б) одинакового цвета?

7. В урне 5 белых, 4 красных и 3 черных шара. Наугад извлекаются два шара. Какова вероятность, что они а) разного; б) одинакового цвета?

8. Какова вероятность, что наудачу выбранное трехзначное число состоит из различных четных цифр?

1.5Теоремы сложения. Произведение независимых событий

Определения вероятности, рассмотренные выше, относятся к приложениям теории вероятности. В фундаментальной теории вероятностей вероятность определяется аксиоматически и понимается как функция Р(А), определенная для случайных событий, удовлетворяющая аксиомам (даются в упрощенном виде):

(А1) 0  Р(А)  1;

(А2) Р(U) = 1, где U – достоверное событие;

(А3) Р(А₁+ … + A_n) = Р(А₁) + … + Р(A_n), если А₁, … , A_n – попарно несовместные события.

Аксиомы выбраны так, что они согласовываются с понятием вероятности, имеющим практический смысл.

Из аксиом легко выводятся свойства вероятности.

1. 1.5.1. Р() = 0.

2. 1.5.2. Р( ) = 1 – Р(А).

3. 1.5.3. Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

При решении задач следует вводить события, вероятности которых следует найти, и события, вероятности которых даны или находятся по известным формулам. Выражаем искомые события через известные и находим их вероятности по подходящим формулам с помощью полученных выражений.

1. Мишень состоит из круга и двух концентрических колец. Вероятности попадания в круг и кольца равны соответственно 0,2, 0,3 и 0,3. Какова вероятность промаха по мишени?

Решение. Вводим события:

А₁ – попадание в центральный круг;

А₂ – попадание в первое кольцо;

А₃ – попадание во второе кольцо;

В – промах по мишени.

Для нахождения искомой вероятности события В следует это событие выразить через события А₁, А₂, А₃, вероятности которых даны в условии задачи. Нетрудно понять, что В = . Но для решения задачи гораздо проще найти сначала вероятность противоположного события – попадание по мишени. Имеем = А₁ + А₂ + А₃. Так как события в сумме попарно несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей, то есть

Р( ) = Р(А₁) + Р(А₂) + Р(А₃) = 0,2 + 0,3 + 0,3 = 0,8.

Тогда Р(В) = 1 – Р( ) = 1 – 0,8 = 0,2.

Для нахождения вероятности произведения двух событий есть простая формула в случае, когда события независимы. В этом случае

Р(АВ) = Р(А) Р(В). (1)

События являются независимыми, например, если произошли в различных не связанных друг с другом испытаниях. Например, при двух подбрасываниях монеты вероятность выпадения «орла» при каждом подбрасывании никак не зависит от результата другого подбрасывания. В общем случае формула (1) принимается за определение независимых событий.

2. Два охотника одновременно стреляют по зайцу. Вероятности попадания для них 0,4 и 0,3. Какова вероятность, что заяц будет подстрелен?

Решение. Вводим события:

А₁ – попадание первого охотника;

А₂ – попадание второго охотника;

В – заяц подстрелен.

Имеем В = А­₁ + А₂, поэтому

Р(В) = Р(А­₁ + А₂) = Р(А₁) + Р(А₂) – Р(А₁А₂).

Так как события А­₁ и А₂ независимы, то Р(А₁А₂) = Р(А₁)Р(А₂). Поэтому

Р(В) = Р(А₁) + Р(А₂) – Р(А₁)Р(А₂) = 0,4 + 0,3 – 0,4 ^. 0,3 = 0,58.

3. Три охотника одновременно стреляют по зайцу. Вероятности попадания для них 0,4, 0,5 и 0,3. Какова вероятность, что заяц будет подстрелен?

Решение. Вводим события:

А_i – попадание первого охотника, i = 1, 2, 3;

В – заяц подстрелен.

Ищем вероятность В через вероятность противоположного события, которое заключается в том, что все трое промахнулись:

= .

Так как события в произведении независимы, то

P( ) = P( )P( )P( ) = (1 – 0,4)(1 – 0,5)(1 – 0,3) = 0,6 ^. 0,5 ^. 0,7 = 0,21.

Замечание. Этим же методом можно решать задачу в примере 2.