Упражнения

1. Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь друг за другом?

2. Сколькими способами из группы в 24 человека можно выбрать двоих делегатов на конференцию?

3. Сколькими способами из группы спортсменов в 18 человек можно выбрать двоих участников соревнования?

4. Сколькими способами можно выбрать старосту и профорга в группе студентов из 24 человек?

5. Ежедневно в классе из 25 учащихся выделяются для дежурства двое. Можно ли составить график дежурств так, чтобы никакие двое не дежурили вместе дважды в течение учебного года?

6. Сколькими способами можно выбрать из 10 человек команду из 5 человек для игры в баскетбол?

7. Сколько шестибуквенных слов можно составить из карточек, из которых составлено слово «ученик»?

8. Сколько трехбуквенных слов можно составить из карточек, из которых составлено слово «ученик»?

9. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе не повторяются?

10. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе могут повторяться?

11. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если нечетные и четные цифры в числе чередуются и не повторяются?

12. Сколько четных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе могут повторяться?

13. Фотограф выстраивает в ряд трех мужчин и четырех женщин так, чтобы мужчины и женщины чередовались. Сколькими способами он может это сделать?

14. Фотограф выстраивает в ряд трех мужчин и трех женщин так, чтобы мужчины и женщины чередовались. Сколькими способами он может это сделать?

15. Сколькими способами можно разбить 10 человек на две команды для игры в баскетбол?

16. Сколькими способами можно выбрать тройку, семерку, туза из колоды в 52 карты?

17. Сколько различных трехбуквенных слов можно составить из карточек, из которых составлено слово «учение»?

18. Сколько различных трехбуквенных слов можно составить из карточек, из которых составлено слово «молоток»?

19. Имеются два семейства параллельных прямых: в одном п прямых, в другом – т. Сколько параллелограммов образовалось при пересечении этих прямых?

20. Имеются две параллельные прямые. На одной отмечено п точек, на другой – т точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

1.4Классическое определение вероятности

Пусть пространство элементарных событий для данного испытания состоит из n равновозможных исходов, и событию А благоприятствуют m из них. Тогда

P(A) = . (1)

Эта формула называется классическим определением вероятности. Обязательное условие ее применения – равновозможность исходов в пространстве элементарных событий. Условие равновозможности устанавливается из конкретных особенностей испытания. Например, при подбрасывании монеты равновозможность выпадения орла и решки следует из симметрии монеты; при подбрасывании игрального кубика равновозможность выпадения любого числа очков следует из того, что все грани кубика находятся в одинаковых условиях.

1. На карточках написаны числа 1, 2, 3, 4. Наугад выбираются три карточки. Какова вероятность, что сумма чисел на них делится на 3?

Решение. Перебираем все возможные варианты выбора чисел: 1+2+3 = 6; 1+2+4 = 7; 1+3+4 = 8; 2+3+4 = 9. Заключаем, что общее число исходов п = 4; число благоприятных исходов т = 2. Значит, искомая вероятность р = 1/2.

Обычно при решении задач на классическое определение вероятности для подсчета m и n используются формулы комбинаторики. При этом удобно придерживаться следующей примерной схемы рассуждений.

1. Определить, в чем заключается испытание.

2. Построить пространство элементарных событий для этого испытания, состоящее из равновозможных исходов, и подсчитать число n элементов в нем.

3. Сформулировать событие, вероятность которого требуется найти, и подсчитать число m благоприятствующих ему элементарных исходов из построенного пространства элементарных событий.

4. Найти вероятность по формуле (1).

2. Какова вероятность, что наудачу выбранное трехзначное число состоит из нечетных цифр?

Решение. Испытание: выбор трехзначного числа. Число исходов п – это число трехзначных чисел; n = 999 – 99 = 900 (от самого большого трехзначного числа отнимаем самое большое число с меньшим числом цифр). Чтобы построить трехзначное число из нечетных цифр, надо выбрать 3 цифры из пяти нечетных. Порядок их в числе важен, и возможны повторения. Поэтому m = = 5³ = 125. Тогда р = .

3. Какова вероятность, что наудачу выбранное трехзначное число состоит из четных цифр?

Решение. Воспользуемся примером 2. Число исходов n = 900. Чтобы построить трехзначное число из четных цифр, надо выбрать 3 цифры из пяти четных: 0, 2, 4, 6, 8. Но на выбор есть ограничение: первая цифра не может быть нулем. Поэтому m найдем непосредственным подсчетом. Первую цифру можно выбрать 4 способами, вторую и третью 5 способами каждую. А так как нужно выбрать все три цифры, то действует принцип произведения, согласно которому m = 4 ^. 5 ^. 5 = 100. Тогда р = .

4. Какова вероятность, что при бросании двух игральных кубиков в сумме выпадет 7 очков?

Решение. Испытание: бросание двух игральных кубиков. Если в качестве пространства элементарных событий рассматривать сумму очков или комбинацию очков на двух кубиках без учета порядка, то такие исходы не будут равновозможны. Действительно, комбинация 3+4 может быть получена двумя сособами, а 3+3 только одним. Чтобы сделать исходы равновозможными, мы берем различные кубики, например, черный и белый. На число выпавших очков это никак не повлияет. В качестве исходов будем рассматривать пары чисел: первое показывает число очков на черном, второе – на белом кубике. Если зафиксировать первое число, то значения второго между собой равновозможны. Если зафиксировать второе число, то значения первого между собой также равновозможны. Значит, все пары между собой равновозможны. Их число п = 6² = 36. Чтобы найти т, просто перечислим все исходы из построенного пространства элементарных событий, дающие нужную сумму: 7 = 1+6 = 2+5 = 3+4 = 4+3 = 5+2 = 6+1. Значит, т = 6, и р = 6/36 = 1/6.