1.3Элементы комбинаторики

При решении задач на вычисление вероятности часто бывает полезно пользоваться формулами комбинаторики. Комбинаторика, в частности, рассматривает вопрос о том, сколькими способами можно построить определенные конструкции по заданным правилам. В основе решения этих вопросов часто лежат два принципа комбинаторики.

Пусть имеются п попарно не пересекающихся множеств, содержащих т₁, … , т_п элементов соответственно. Выбрать из этих множеств один элемент можно числом способов, равным сумме т₁ +…+ т_п (принцип суммы). Выбрать из этих множеств п элементов, по одному из каждого множества, можно числом способов, равным произведению т₁…т_п (принцип произведения).

1. С колько маршрутов ведут из А в В на рисунке 3?

Решение. Из А в С ведут 3 маршрута, из С в В – 5 маршрутов. Так как маршрут надо выбирать на каждом из этих участков, применяем принцип произведения. Общее число маршрутов равно 35 = 15.

Одной из важнейших функций, использующейся в комбинаторике, является факториал.

1. Функция факториал от натурального аргумента п (обозначается п!) – это произведение всех натуральных чисел, не превосходящих п, то есть п! = 12…п.

Из определения видим, что (п + 1)! = 12…п(п + 1) = п!(п + 1), то есть выполняется свойство

(п + 1)! = п!(п + 1). (1)

Непосредственно из определения мы не можем найти 0!, так как для п = 0 определение теряет смысл. Но формула (1) дает возможность доопределить значение п! и для п = 0 так, чтобы формула выполнялась и для этого значения. Полагая в этой формуле п = 0, получаем 1! = 0!1, откуда 0! = 1.

Обобщая формулу (1), замечаем, что в разложении п! произведение первых k членов при k < n есть k! Поэтому

п! = 12…k(k + 1)(k + 2) … n = k!(k + 1)(k + 2) … n.

Среди конструкций, рассматриваемых в комбинаторике, часто встречаются множества и упорядоченные множества, или кортежи. В множестве порядок элементов не важен, и все элементы в нем различны. Если множество задается перечислением элементов, то элементы берутся в фигурных скобках:{а₁, … , a_n}. Кортеж можно записывать в виде строки (а₁, … , a_n); в кортеже могут встречаться одинаковые элементы. В частности, слово можно представить как кортеж из букв; число – как кортеж из цифр.

Перестановкой элементов данного множества называется кортеж, составленный из этих элементов, в котором каждый элемент встречается ровно по одному разу.

Другими словами, построить перестановку – значит упорядочить данное множество, а число перестановок – это число способов упорядочить множество. Число перестановок из nэлементов обозначается Р_п и равно Р_п = п!

Пусть имеется множество из п элементов. Размещением по т элементов называется кортеж длины т, составленный из элементов этого множества. Если элементы в кортеже могут повторяться, имеем размещения с повторениями из п по т; если все элементы должны быть различны – то размещения без повторений из п по т.

Если используется просто термин «размещение», подразумевается «размещение без повторений».

Число размещений без повторений из п по т обозначается ; число размещений с повторениями из п по т – . Эти числа вычисляются по формулам = п^т; = .

Пусть имеется множество из п элементов. Сочетанием по т элементов этого множества называется любое его подмножество из т элементов.

Число сочетаний из п по т обозначается и равно .

Следует хорошо понимать, в каких случаях какая формула может применяться. Прежде всего, следует четко определить, из какого множества производится выбор. Если это множество требуется упорядочить, то имеем перестановки. Если нужно произвести выбор, то определяем, важен ли порядок выбираемых элементов. Если важен, то это размещения, если не важен, то сочетания. Наконец, в размещениях определяем, возможны ли повторения.

2. Сколькими способами в группе из 25 студентов можно выбрать двоих дежурных?

Решение. Из 25 студентов нужно выбрать 2. Порядок их не важен, поэтому это сочетания. Значит, число способов равно = = 300.

3. В группе из 25 студентов нужно выбрать троих для подготовки ответов на три вопроса к семинару. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Из 25 студентов нужно выбрать 3. Так как важно, кто из них какой вопрос готовит, то есть важен порядок, то это размещения. Студенты должны быть разными. Значит, число способов равно = 13800.

4. Сколько существует трехзначных чисел, у которых первая и последняя цифры нечетные и все цифры различные?

Решение. Чтобы построить трехзначное число, надо выбрать 3 цифры из 10. Но на выбор есть ограничения, поэтому формулу комбинаторики применить затруднительно. Произведем подсчет непосредственно. Сначала выбираем первую цифру из 5 нечетных, это можно сделать 5 способами. Затем выбираем последнюю цифру также из нечетных. Но так как одна из них уже использована и повторений быть не должно, то последнюю цифру можно выбрать 4 способами. Наконец, выбираем вторую цифру. Она может быть любой из 8 оставшихся. А так как нам нужно выбрать все три цифры, то действует принцип произведения, согласно которому число способов равно 5^.4^.8 = 160.