Операции над событиями

Суммой событий А и В называется событие А + В, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из событий А или В. Сумме событий соответствует объединение множеств. Давая словесную формулировку события А + В, мы формулировки событий А и В связываем союзом «или».

Произведением событий А и В называется событие АВ, заключающееся в том, что произошли оба события А и В. Произведению событий соответствует пересечение множеств. Давая словесную формулировку события АВ, мы формулировки событий А и В связываем союзом «и».

Разностью событий А и В называется событие А – В, заключающееся в том, что событие А произошло, а событие В не произошло.

Противоположным к событию А называется событие , заключающееся в том, что событие А не произошло.

3. Произвести над событиями А и В из примера 2 операции, определенные выше. Дать словесную формулировку получившихся событий и выразить их как подмножества пространства элементарных событий.

Решение. Отредактировав формулировки событий, построенные по указанным правилам, получаем:

А + В – «Выпавшее число очков четное или больше 3»; А + В = {w₂, w₄, w₅, w₆}.

АВ – «Выпало четное число очков, большее 3»; АВ = {w₄, w₆}.

А – В – «Выпало четное число очков, не большее 3»; А – В = {w₂}.

– «Выпало нечетное число очков»; = {w₁, w₃, w₅}.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти ни при каком исходе испытания. Невозможное событие обозначается , как пустое множество.

Событие называется достоверным, если оно произойдет при любом исходе испытания. Достоверное событие обозначается как пространство элементарных событий.

События А и В называются несовместными, если не могут произойти одновременно ни при каком исходе испытания, то есть АВ = .

Событие А называется благоприятствующим для события В, если в любом случае, когда происходит событие А, событие В также происходит. На языке множеств это означает АВ.

В условиях примеров 1 – 3 невозможным является событие «Выпало 7 очков»; достоверным – «Выпало не больше 6 очков»; несовместными события АВ и ; событие АВ – благоприятствующее для А.

Упражнения

1. Испытание заключается в подбрасывании двух кубиков – белого и черного. Введем события:

А – в сумме выпало четное число очков;

В – на белом кубике выпало четное число очков;

С – в сумме выпало 2 очка;

D – в сумме выпало не более 4 очков;

Е – на черном кубике выпало 6 очков.

Дайте словесную формулировку событий AB, A + E, CD, , D – C, DE.

2. Назовите противоположные события для следующих событий:

А – выпадение двух орлов при бросании двух монет;

В – три попадания при трех выстрелах;

С – хотя бы одно попадание при пяти выстрелах;

D – не более двух попаданий при пяти выстрелах;

Е – выигрыш первого игрока при игре в шахматы.

3. Производятся три выстрела по мишени. Введем события

A_i – «Попадание при i-ом выстреле», i = 1, 2, 3.

Выразите через эти события следующие события:

а) три попадания;

б) три промаха;

в) хотя бы одно попадание;

г) хотя бы один промах;

д) ровно одно попадание;

е) ровно два попадания;

ж) не менее двух попаданий;

з) не более одного попадания;

и) одно или два попадания;

к) попадание не ранее третьего выстрела;

л) попадание не ранее второго выстрела.