Упражнения

1. Признак Х распределен нормально с известным σ = 0,5. По выборке объема п = 20 получено значение = 7,62. Найти доверительный интервал для математического ожидания а с надежностью а) γ = 0,95; б) γ = 0,99; в) γ = 0,999.

2. Признак Х распределен нормально с неизвестным σ. По выборке объема п = 20 получено значение = 7,62 и s = 0,50. Найти доверительный интервал для математического ожидания а с надежностью а) γ = 0,95; б) γ = 0,99; в) γ = 0,999.

3. Найти доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,95 для роста студентов на основе упражнения 2.2.

2.4Проверка статистических гипотез.

Пусть два предприятия производят однотипную продукцию и требуется сравнить параметры этой продукции (например, дальность полета снарядов, прочность кирпича на разлом, повышенное напряжение, при котором перегорает электрическая лампочка, и т.п.). Пусть Х и Y – значения исследуемого признака для единиц продукции первого и второго предприятия; это независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону. Допустим, требуется сравнить МХ и MY. Производим выборки одинакового объема п и определяем по ним и . Например, средняя дальность полета снарядов при п = 100 испытаниях оказалась = 7,3 км и = 7,5 км. Возникает вопрос: можно ли считать расхождение в значениях случайным, или оно является значительным?

Мы выдвигаем гипотезу, что это расхождение случайно, то есть МХ = MY. Эта гипотеза называется основной, или нулевой. Конкурирующая гипотеза заключается в том, что отвергается основная. В данном случае она может быть сформулирована в виде МХ < MY.

Задается уровень значимости α, означающий вероятность ошибки при оценке результата. Ошибка может быть двух видов: отвергается верная гипотеза (ошибка первого рода), или принимается неверная гипотеза (ошибка второго рода).

Для оценки гипотезы разрабатывается специальным образом некоторая контрольная величина Т, приспособленная к данному типу задач. Определяется критическое значение величины Т, зависящее обычно от уровня значимости α и объема выборки п. Рассчитывается значение Т для данной выборки. Если оно оказывается меньше критического, то гипотеза принимается, если больше – отвергается. Таким образом, чтобы снизить вероятность ошибки первого рода, надо увеличивать критическое значение, а чтобы снизить вероятность ошибки второго рода, критическое значение следует уменьшать. Поэтому если выборочное значение Т оказывается больше критического, то мы гипотезу отвергаем с вероятностью ошибки α. Если же выборочное значение Т окажется меньше критического, то мы можем утверждать только, что предложенная гипотеза не противоречит результатам наблюдений.

В рассматриваемом примере с дальностью полета снарядов будем считать дополнительно, что по результатам многолетних наблюдений известны средние квадратичные отклонения для этой величины: σ_Х = 0,4; σ_Y = 0,5. Тогда в качестве критерия можно использовать значение

= = = 3,12.

Критическое значение находим по таблице функции Ф(х). Если задать уровень значимости 0,05, то критическое значение t₀ находим из условия

Ф(t₀) = = 0,475.

Получаем t₀ = 1,96. Так как t > t₀, то различие в результатах испытаний признается значительным, и гипотеза о равенстве средней дальности полета снарядов отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

Для различного типа задач вырабатываются различные критерии. Кроме задачи о равенстве средних значений, рассматриваются задачи о равенстве средних квадратичных отклонений, о проверке того, что две выборки относятся к одной и той же генеральной совокупности, и т.д. При этом может учитываться наличие дополнительной информации о генеральной совокупности.

Рассмотрим задачу о законе распределения признака Х в генеральной совокупности. Выдвигается основная гипотеза о виде закона распределения, например, что закон является нормальным. Тогда конкурирующая гипотеза заключается в том, что закон имеет другой вид. По выборке рассчитываются параметры закона (для нормального закона это а и σ). По этим параметрам рассчитывается распределение значений признака Х для данного объема выборки, то есть частоты, с которыми эти значения должны появляться при данном объеме выборки (выравнивающие частоты). Эти частоты сравниваются с эмпирическими (полученными в результате эксперимента) и определяются расхождения между ними. По этим расхождениям специальным образом определяется значение χ². По таблице χ²-распределения определяем критическое значение χ²₀. Эта таблица зависит от уровня значимости α и числа степеней свободы k = n – 3. Если χ² > χ²₀, то гипотеза отвергается на уровне значимости α. Если χ² < χ²₀, то утверждается, что гипотеза не противоречит результатам наблюдений.

Для гипотезы о нормальном законе вычисления производятся следующим образом. Делается выборка объема n. В результате эксперимента получаем вариационный ряд вида

Варианты xi	x1	x2	…	xm
Эмпирические частоты ni	n1	n2	…	nm

Считаем, что n = n₁ + n₂ +…+ n_m и значения вариант идут с постоянным шагом h. Далее выполняем следующие шаги:

1) находим и σ_в = s, как описано в разделе 2.2;

2) вычисляем выравнивающие частоты по формулам

, где ; (1)

3) вычисляем величину ;

4) по таблице χ² -распределения находим значение χ²₀ для данного уровня значимости α и числа степеней свободы k = n – 3;

5) если χ² > χ²₀, то гипотеза отвергается на уровне значимости α. Если χ² < χ²₀, то гипотеза не противоречит результатам наблюдений.

Вычисления можно оформлять с помощью следующей таблицы.

i	xi	ni	xi ni	xi2 ni	ui	(ui)		ni –
1 … m	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 
		n	Σ1	Σ2						χ2

Ввиду большого числа столбцов эту таблицу можно разбить на две. В первой вычисления производятся вплоть до столбца . Во вторую переносятся из первой столбцы n_i и и производятся дальнейшие вычисления.

3. Проверить гипотезу о нормальном распределении для генеральной совокупности на уровне значимости α = 0,05 по следующему вариационному ряду, полученному экспериментальным путем.

xi	10	12	14	16	18	20
ni	5	9	16	22	18	10

Решение. Строим расчетную таблицу

i	xi	ni	xi ni	xi2 ni	ui	(ui)
1 2 3 4 5 6	10 12 14 16 18 20	5 9 16 22 18 10	50 108 224 352 324 200	500 1296 3136 5632 5832 4000	–2,04 –1,33 –0,61 0,11 0,82 1,54	0,0498 0,1647 0,3312 0,3965 0,2850 0,1219	3 9 19 23 16 10
		80	1258	20396

Заполнив первые пять столбцов как при решении примера 2.1, последовательно находим: п = 80;

= 15,7;

= 7,77;

σ_в = s = = 2,79.

Следующие столбцы заполняются с помощью формул (1) и таблицы значений функции (х). Для заполнения последнего столбца вычисляем множитель .

Далее строим вторую таблицу

i	ni		ni –
1 2 3 4 5 6	5 9 16 22 18 10	3 9 19 23 16 10	2 0 –3 –1 2 0	4 0 9 1 4 0	1,33 0 0,47 0,04 0,25 0
					2,09

Получили χ² = 2,09. По таблице χ² - распределения для k = m – 3 = 6 – 3 = 3 и α = 0,05 находим критическое значение χ²₀ = 7,82. Так как χ² < χ²₀, то гипотеза о нормальном распределении не противоречит результатам эксперимента.

Замечание. Для облегчения вычислений в первой таблице можно было использовать ложный нуль.