Упражнения

1. Дана функция распределения случайной величины Х:

Найдите ее плотность вероятности. Постройте графики функций F(x) и f(x). Найдите MX, DX, σ(X) и вероятность того, что –1 < Х < 1.

2. Значения случайной величины Х принадлежат отрезку [1; 5]. Плотность вероятности на этом отрезке постоянна, f(x) = p. Найдите значение р.

3. Значения случайной величины Х принадлежат отрезку [0; 4]. Плотность вероятности на этом отрезке имеет вид f(x) = cx. Найдите значение c.

1.11 Основные законы распределения случайных величин.

Основными законами распределения для дискретных случайных величин являются следующие.

Равновозможное распределение. Случайная величина принимает n значений с одинаковой вероятностью, равной 1/n. Такое распределение имеет место в схеме с классическим определением вероятности.

Биномиальное распределение. Это распределение для числа успехов в схеме Бернулли с п испытаниями и вероятностью успеха в одном испытании р. Число успехов принимает значения от 0 до п, вероятность для каждого значения определяется формулой Бернулли Р_n(m) = . Можно показать, что математическое ожидание этой случайной величины равно np, дисперсия npq.

Для непрерывных случайных величин имеем следующие основные законы распределения.

Равномерное распределение. Случайная величина принимает значения на отрезке [a, b] с постоянной плотностью вероятности. Значение плотности вероятности . Математическое ожидание – это середина отрезка.

Нормальное распределение. Это наиболее часто встречающееся на практике распределение. Плотность вероятности задается формулой

.

График плотности вероятности имеет вид холма. Абсцисса вершины холма находится в точке а, это математическое ожидание случайной величины.

Точки перегиба графика имеют абсциссы, отстоящие от а на σ в обе стороны. Среднее квадратичное отклонение равно σ.

Площадь фигуры, ограниченной графиком и осью абсцисс, равна 1. Примерно 2/3 этой площади сосредоточена на отрезке [a – σ, a + σ], такова вероятность попадания значения случайной величины в этот отрезок. Действует правило трех сигм»: вероятность того, что значение случайной величины окажется вне отрезка [a – 3σ, a + 3σ], равна 0,3%, то есть это практически невозможное событие.

Нормальное распределение полностью задается своими параметрами а и σ. При изменении а холм передвигается вправо или влево. При изменении σ меняется крутизна холма при этом площадь под ним остается равной 1. При увеличении σ холм становится более пологий, при уменьшении – более крутой. В соответствии с правилом трех сигм это означает, что при уменьшении σ разброс значений случайной величины становится все меньше, то есть эта величина становится все более определенной.

1.12 Закон больших чисел

Закон больших чисел – это серия теорем, описывающих поведение случайной величины, являющейся суммой большого числа других случайных величин.

Центральная предельная теорема. Если случайная величина является суммой большого числа других случайных величин, дисперсии которых не слишком отличаются друг от друга, то закон распределения суммы близок к нормальному.

Здесь приведена не точная формулировка, а смысл центральной предельной теоремы. Условие на дисперсии достаточно относительно, оно означает, что каждая случайная величина в отдельности влияет на сумму незначительно.

Проявляется эта теорема, например, в схеме Бернулли. При проведении п независимых испытаний каждому испытанию можно сопоставить случайную величину – число успехов в этом испытании. Эта случайная величина может принимать одно из значений 0 или 1 с вероятностями р и q соответственно; закон ее распределения весьма далек от нормального. Число успехов в п испытаниях есть сумма этих случайных величин. Если отметить на графике вероятности ее значений, например, для п = 10, то точки образуют фигуру, похожую на холм. При больших же значениях п действуют теоремы Муавра – Лапласа, основанные на нормальном законе распределения.

Простейшей формой закона больших чисел является теорема Бернулли, на которой основано статистическое определение вероятности: увеличением числа испытаний п в схеме Бернулли отклонение относительной частоты появления успеха m/n от его вероятности р можно сделать как угодно малым. Какое бы малое значение отклонения ε ни задать, .

Обобщением этой теоремы является теорема Чебышёва, или закон больших чисел в форме Чебышёва. Смысл ее следующий. Пусть имеется большое число независимых случайных величин с ограниченной дисперсией (то есть каждая в отдельности ничтожно мало влияет на их сумму). Тогда среднее арифметическое этих случайных величин (само являющееся случайной величиной) имеет малый разброс относительно своего математического ожидания.

Практическое значение этой теоремы проявляется, например, при измерении физической величины. В результате измерений могут быть ошибки, но если произвести большое количество измерений и взять среднее арифметическое результатов, то получим очень хорошую точность. Эта точность может значительно превосходить возможности прибора, которым производятся измерения.

Закон больших чисел проявляется в природе. В биологии он объясняет, например, почему примерно на одном уровне поддерживается численность организмов различных видов там, где нет активного вмешательства человека в природу. В физике на микроскопическом уровне мы можем наблюдать явление броуновского движения. На мельчайшую каплю масла, плавающую в жидкости, постоянно действуют силы ударов со стороны хаотически движущихся молекул жидкости. Равнодействующая этих сил является случайной величиной (векторной). Значение этой случайной равнодействующей постоянно меняется по величине и направлению, а среднее значение нулевое. Под воздействием равнодействующей силы капля совершает хаотические перемещения, подчиняясь физическому закону F = ma, связывающему силу, массу и ускорение. Если массу капли увеличить в 2 раза, то, чтобы сделать такой же скачок, она должна получить воздействие в 2 раза большей силы. Но вероятность этого значительно меньше, а при большом увеличении массы капли она становится практически равной нулю. Поэтому у больших, видимых глазом капель никакого движения не наблюдается.

Вероятностную природу в основе имеют законы, описывающие поведение газов. Газ состоит из большого числа хаотически движущихся молекул. При небольшом их числе молекулы могли бы заполнять объем, в котором находятся, неравномерно, могли иногда скапливаться в одной половине занимаемого помещения. Но при таком количестве молекул, которое мы реально имеем, вероятность этого не просто ничтожно мала, она ничтожно мала даже для всего времени существования вселенной. Поэтому законы газовой динамики имеют не вероятностную, а строгую физическую форму.