Упражнения

1. Задан ряд распределения случайной величины Х:

X	1	3	4	7
P	0,3	0,4	0,1	0,2

Найдите МХ, DX, σ(X).

2. Производятся три выстрела по мишени с вероятностью попадания при одном выстреле 0,6. Число попаданий является случайной величиной. Постройте ряд распределения для этой случайной величины.

3. В урне 5 белых и 4 черных шара. Наугад вынимаются два шара. Постройте ряд распределения для случайной величины – числа вынутых белых шаров. Найдите ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

1.10 Непрерывные случайные величины

Непрерывную случайную величину невозможно задать, указывая вероятности, с которыми принимаются ее значения. Вероятность принять фиксированное значение равна 0. Имеет смысл говорить только о вероятности попадания в заданный промежуток. На этом основан способ задания случайной величины с помощью функции распределения, которая может быть определена для всех типов случайных величин, а не только для непрерывных.

3. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x) = P(X < x).

1. Построить функцию распределения случайной величины Х:

X	0	1	3
P	0,3	0,6	0,1

Изобразить ее график.

Решение. Если x  0, то событие X < x невозможное: у Х нет значений, меньших 0. Поэтому для этого случая F(x) = 0.

Если 0 < x  1, то событие X < x означает, что Х = 1: это единственное значение Х, меньшее таких х. Поэтому для этого случая F(x) = 0,3.

Если 1 < x  3, то событие X < x означает, что Х принимает значение 0 или 1. Суммируя соответствующие вероятности, получаем для этого случая F(x) = 0,3 + 0,6 = 0,9.

Наконец, если x > 3, то событие X < x достоверное: все значения Х удовлетворяют неравенству X < x для таких х. Поэтому для этого случая F(x) = 1.

Следовательно, функция распределения имеет вид

Ее график:

Замечание. Соблюдать на графике одинаковый масштаб по осям абсцисс и ординат нет необходимости, так как по этим осям откладываются разнородные величины.

В приведенном примере график функции распределения разрывный, так как случайная величина дискретная. Для непрерывной случайной величины график функции распределения непрерывный.

14. 1.10.1. Свойства функции распределения.

1. 0  F(x)  1.

2. F(–) = 0, F(+) = 1 (имеются в виду соответствующие пределы).

3. Р(a < Х < b) = F(b) – F(a) (строгие неравенства можно заменить нестрогими).

Дадим графическую иллюстрацию последней формулы.

На рисунке вероятности попадания в промежутки (a, b) и (c, d) равны длинам соответствующих отрезков, выделенных на оси ординат жирными линиями. Видим, что хотя интервал (a, b) значительно короче (c, d), вероятность попадания в него больше. Причина этого в том, что на первом интервале график F(x) значительно круче, то есть функция F(x) возрастает быстрее. Но крутизна графика функции характеризуется ее производной, график которой дает более наглядное представление о скорости возрастания функции, чем график самой функции. На этом основан другой способ задания непрерывной случайной величины.

4. Плотностью вероятности случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, то есть f(x) = F (x).

15. 1.10.2. Свойства плотности вероятности.

1. f(x)  0.

2. = 1.

3. Р(a < Х < b) = (строгие неравенства можно заменить нестрогими).

4. F(x) = .

Геометрический смысл свойства 2*: площадь под графиком функции f(x) равна 1. Геометрический смысл свойства 3*: вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком f(x) и прямыми x = a, x = b.

С помощью плотности вероятности можно вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Математическое ожидание:

МХ = .

Дисперсия:

DX = M(X²) – M(X)², где M(X²) = .

2. Дана функция распределения случайной величины Х:

Найти ее плотность вероятности. Построить графики функции распределения и плотности вероятностей. Найти MX, DX, σ(X) и вероятность того, что 1 < Х < 3.

Р ешение.

Графики функций приведены на рисунках.

Замечание. График функции распределения должен быть непрерывным. График плотности вероятностей может иметь разрывы, что мы и видим на рисунке. Это отразилось и на области определения этой функции: в точке 0 она определена, в точке 2 не определена.

МХ = = = = = ;

M(X²) = = = = = 2;

DX = M(X²) – M(X)² = 2 – = ;

σ(X) = ;

Р(1 < Х < 3) = F(3) – F(1) = 1 – = 0,75.