Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого»

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

и

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

для студентов нематематических специальностей

Тула 2012

Игнатов Ю.А.

Теория вероятностей и математическая статистика для студентов нематематических специальностей.

Учебное пособие составлено в соответствии с ФГОС ВПО третьего поколения по математике и теории вероятностей и предназначено для студентов нематематических специальностей. Подробно на доступном языке изложен теоретический материал, предусмотренный программой. Разобраны решения типовых заданий. Приведены упражнения для решения на практических занятиях. Даны задания для контрольных работ и индивидуальные задания для студентов.

Пособие будет полезно студентам нематематических специальностей как при изучении раздела «Теория вероятностей» в общем курсе математики, так и при изучении отдельного курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Студенты математических специальностей могут использовать его как справочник.

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики и информатики ТулГУ В.И. Иванов;

кандидат педагогических наук, доцент, зав. кафедрой информатики и методики обучения информатике ТГПУ им. Л.Н.Толстого А.В. Якушин.

Учебное издание

Теория вероятностей для студентов нематематических специальностей

Составитель

Игнатов Юрий Александрович

© Ю. Игнатов, 2012 г.

1.Теория вероятностей

1.1Понятие вероятности

Термин «вероятность» и производные от него часто употребляются в обыденной жизни. Но здесь этим термином характеризуют степень уверенности в наступлении какого-либо события, что является очень расплывчатым и относится скорее к психологии, чем к математике. В математике же это понятие имеет строгое и четкое определение.

Одним из исходных понятий теории вероятностей является испытание. Это действие, результат которого невозможно предопределить заранее. Например, при подбрасывании монеты невозможно предсказать, выпадет орел или решка. Хотя полет монеты подчиняется строгим физическим законам, на ее движение влияют слишком много изменяющихся факторов на молекулярном уровне, которые невозможно учесть.

Любой исход испытания называется событием.

Чтобы говорить о вероятности события, требуется, чтобы испытание можно было повторять произвольное число раз. Пусть испытание произведено N раз, и при этом событие А произошло в N(A) испытаниях. Относительной частотой появления события А называется число . Имеет место закон природы: при увеличении числа испытаний N относительная частота появления события А стабилизируется, то есть приближается к некоторому значению p. Это значение, обозначаемое P(A), и называется вероятностью события А, то есть

P(A) = .

Недостаток этого определения в том, что его невозможно использовать на практике: для этого надо провести бесконечное число испытаний. Но на этом определении основано статистическое определение вероятности:

P(A) = .

Недостаток этого определения в том, что оно дает приближенное значение вероятности. Чтобы получить с его помощью более точное значение, требуется увеличить число испытаний, а это может быть связано с материальными или временными затратами. Но именно на основании этого определения обычно получают вероятности, с которыми имеют дело на практике.

1.2Пространство элементарных событий

Пространством элементарных событий для испытания называется множество его исходов, охватывающие все возможные исходы, причем никакие два из них не могут произойти одновременно.

1. Испытание: подбрасывание игрального кубика. Построить пространство элементарных событий для этого испытания.

Решение. Естественное пространство элементарных событий: U = {w₁, … , w₆}, где событие w_i означает «выпало i очков». В качестве другого пространства элементарных событий можно взять множество исходов «Выпало четное число очков; выпало нечетное число очков». Множество исходов «Выпало больше 3 очков; выпало меньше 3 очков» не годится в качестве пространства элементарных событий, так как в нем отсутствует возможный исход «Выпало 3 очка». Множество исходов «Выпало не больше 3 очков; выпало не меньше 3 очков» не годится в качестве пространства элементарных событий, так как эти исходы могут произойти одновременно, если выпадет 3 очка.

Событием называется подмножество пространства элементарных событий.

2. Выразить для испытания из примера 1 события: А – «Выпало четное число очков» и В – «Выпало больше 3 очков» как подмножества пространства элементарных событий U.

Ответ. A = {w₂, w₄, w₆}; B = {w₄, w₅, w₆}.