Глава 2. Динамическое программирование.

Специфика метода динамического программирования заключается в том, что для отыскания оптимального решения задачи последняя разбивается на ряд последовательных шагов или этапов. Соответственно и сам процесс планирования становится многошаговым. Термин «динамическое программирование» относится скорее к вычислительному методу, чем к особому типу задач. Многие задачи статического характера оказывается возможным сформулировать и решать как задачи динамического программирования. В то же время некоторые динамические задачи успешно решаются методами линейного и нелинейного программирования.

Покажем принцип метода динамического программирования на модели эффективного использования ресурсов.

Имеется некоторое количество ресурса , которое можно использовать различными способами. Пусть – количество ресурса, используемое -м способом, – доход от использования ресурса -м способом ( ). Требуется распределить общее количество ресурса между различными способами, чтобы суммарный доход был максимальным. Математически задача выразится следующим образом.

Найти

(10.1)

при условиях:

(10.2)

Вместо одной задачи с данным количеством ресурса и фиксированным числом способов рассматриваем целое семейство таких задач, в которых принимает любые положительные значения и – любые целые. Развертываем процесс во времени, производим распределение ресурсов в каждую единицу времени.

Зададим последовательность функций , определенных для следующим образом:

(10.3)

где

Очевидно,

Существует рекуррентное соотношение

(10.4)

для

Вывод этого соотношения основан на принципе оптимальности Беллмана.

Очевидно,

Соотношения (10.4) позволяют заменить вычисление максимума по N переменным в исходной задаче решением N задач, в каждой из которых максимум находится лишь по одной переменной.

Примечания.

1. Наряду с решением исходной задачи получают решения целого семейства сходных между собой задач.

2. Та же идея построения рекуррентных соотношений может быть использована в случае нескольких видов ресурсов, но с увеличением размерности быстро растет объем вычислений.

Схема решения задачи [10.1] –[10.2]

1. Находят функции и .

2. Строят рекуррентное соотношение.

3. Находят функции и .

4. Выбирают значения – максимальное значение целевой функции - значение переменной в решении.

5. Остальные переменные получают следующие значения:

Пример

при условиях:

Решение. Для построения рекуррентного соотношения обозначим , . Построим последовательность функций

Легко видеть, что при , а при .

Запишем значения функций и при дискретных целых значениях из заданного интервала

Построим рекуррентное соотношение, связывающее функции и :

Поскольку записать данную функцию в явном виде сложно, вычислим ее значения при дискретных значениях х:

Здесь минимальное значение выбрано из двух выражений – при и и достигается при =1.

Находим

Следовательно, решение данной задачи следующее .