§ 5. Вырожденная задача лп.

При рассмотрении симплексного метода предполагалось, что все как в исходной системе, так и в системах , получаемых после определенных итераций. Если же в некоторых уравнениях, , то возникает неоднозначность в выборе решающего элемента и в соответствующем базисном решении. Базисные переменные, относительно которых эти уравнения разрешены, принимают нулевые значения. Базисное решение, в котором хотя бы одна из базисных переменных равна нулю, называется вырожденным решением, а задача ЛП, имеющая хотя бы одно вырожденное решение, называется вырожденной задачей. Применяя (в случае вырожденной задачи) последовательные итерации, мы можем вернуться к ранее встречавшемуся базисному решению, т.е. появляется так называемое зацикливание (значение линейной формы не меняются от итерации к итерации) в схеме расчета.

Рассмотрим правило устранения зацикливания [1-4].

Если на каком либо этапе расчета возникает неопределенность в выборе разрешающей строки, т.е. окажется несколько равных минимальных отношений , то следует выбирать ту строку, для которой отношение элементов следующего столбца к разрешающему будет наименьшим. Если при этом снова окажутся равные минимальные отношения, то составляются отношения элементов следующего столбца, и так до тех пор, пока разрешающая строка не определиться однозначно.

Пример: ( Задача каноническая).

максимизировать

при ограничениях

		Коэффициенты при неизвестных
							2	1
	12	1				1	1	12
	30		1			5	-1	6	-1/5
	6			1		1	-2	6	-2
	9				1	3/2	-1	6	-2/3
F	0					-4	-2

Исходная таблица

Выберем разрешающий элемент. Для этого делим столбец на столбец получим

столбец 1. Здесь минимальное отношение но таких результатов 3 (возникла неоднозначность) ! Следовательно, надо искать новое минимальное отношение столбца разрешающая, а разрешающий элемент 1. Выводим из базиса, а вводим в базис.

Итерация 1

		Коэффициенты при неизвестных
								1	2
	6	1		-1			3	2
	0		1	-5			9	0	-5/9
	6			1		1	-2
	0			-3/2	1		2	0	-3/4
F	24			4			-10

В базисном решении . Возможно зацикливание. Применим и в данном случае правило устранения зацикливания.

Итерация 2

		Коэффициенты при неизвестных
	6	1		5/4	-3/2				24/5
	0		1	7/4	-9/2				0
	6			-1/2	1	1
	0			-3/4	1/2		1
F	24			-7/2	5

На второй итерации значение целевой функции не изменилось. Базисное решение

Здесь только два решения (24/5 и 0:7/4). Следовательно, 7/4 – разрешающий элемент.

Итерация 3

		Коэффициенты при неизвестных
	6	1	- 5/7		12/7
	0		4/7	1	-18/7
	6		2/7		-2/7	1
	0		3/7		-10/7		1
F	24		2		-4

После итерации 3 значение F также не изменилось. , а вводим в базис.

Итерация 4

		Коэффициенты при неизвестных
	7/2	7/12	-5/12		1
	9	3/8	-1/2	1
	7	1/6	1/6			1
	5	5/6	-1/6				1
F	38	7/3	1/3

Все оценки положительны, т.е. получено оптимально решение: