2.2 Критерії оцінки точності результатів вимірювань

2.2.1 Середнє арифметичне значення

Для збільшення точності результату предмет вимірюють кілька разів і обчислюють його середнє значення:

L = (l₁+l₂+…+l_n)  n = (2.2)

Якщо справжні помилки результатів:

₁ = l₁ – X; ₂ = l₂ – X; …_n = l_n – X; (2.3)

де: l_і – результати рівно точних вимірювань, X – істинне значення.

скласти, а їх суми поділити на n вимірювань, то:

 n = l n – X; L = l n =  n + X, або  n = L – X, (2.4)

за четвертою властивістю середнього арифметичного:

 n  0, (2.5)

тому:

l n X, (2.6)

Тобто середнє арифметичне при кількості вимірювань n наближається до свого істинного значення.

2.2.2 Середня квадратична помилка окремого вимірювання

Як зазначено вище випадкові помилки кожного з результатів вимірювань обчислюють за формулами:

₁ = l₁ – X; ₂ = l₂ – X; …_n = l_n – X; (2.7)

За цими помилками оцінюють точність результатів вимірювань, обчислюючи значення середньої квадратичної помилки одного вимірювання:

m =  (₁² + ₂² + _n²)  n = n² n (2.8)

де: n – число вимірювань;

Формулу (2.8) називають формулою Гауса.

Середня квадратична помилка m є більш надійним критерієм, ніж середня арифметична. Вона має наступні властивості:

- значення помилки не залежить від знаку окремих помилок, а лише від їх абсолютної величини;

- на величину помилки найбільше впливають більші за абсолютною величиною випадкові помилки, які і визначають точність вимірів;

- помилка має достатню стійкість при порівняно невеликій кількості вимірів;

- За величиною помилки можна судити про граничну помилку вимірів.

В теорії ймовірності доведено, що:

m = 1.25L (2.9)

2.2.3 Гранична помилка

Потроєну (інколи приймають подвоєну) середню квадратичну помилку вважають граничною:

_lim = 3m (2.10)

Інколи приймають _lim = 2m, але при цьому виникає ризик помилки на 5%. Знаючи значення граничних помилок, розробляють службові допуски помилок і нев’язок при геодезичних роботах.

15.2.4 Ймовірна помилка

Ймовірна помилка – це таке значення випадкової помилки, по відношенню до якої рівноможливі як більші так і менші випадкові помилки вона дорівнює:

r = 23 m, (2.11)

15.2.5 Відносна похибка

Оцінку точності виміряних величин дуже часто виконують за допомогою відносної похибки. Відносною похибкою називається відношення абсолютної похибки до значення вимірюваної величини. Вона завжди записується у вигляді дробу, чисельник якої – абсолютна похибка, знаменник – виміряне значення даної величини.

15.3 Обробка результатів багаторазових рівноточних вимірювань однієї величини

У випадках, коли істинне значення вимірюваної величини невідоме, середню квадратичну помилку m визначають за відхиленням v_i окремих результатів вимірювань l_i від середнього арифметичного значення L.

Нехай l₁, l₂…l_n – результати вимірів якоїсь величини, істинне значення якої Х, а арифметична середина L. Тоді для і-того вимірювання значення випадкової помилки визначають як:

_і = l_i – X, (2.12)

значення ймовірної помилки обчислюють за формулою:

v_i = l_i – L, (2.13)

якщо знайти суму n таких рівностей, отримаємо:

v = l - nL (2.14)

але

L = l n, (2.15)

тобто

v = 0. (2.16)

Тоді:

_і – l_i = l_i – X – (l_i – L) = L – X =  (2.17)

де - деяка мала величина.

Звідси:

_i = v_i +  (2.18)

в нашому випадку таких рівностей буде n:

₁ = v₁ + , ₂ = v₂ + ,…_n = v_n + , (2.19)

Якщо взяти квадрат цих рівностей і іх скласти, отримаємо:

₁² + ₂² +…+ _n² = v₁² + v₂² +…+ v_n² + n² + 2(v₁ + v₂ +…+ v_n), (2.20)

якщо:

₁² + ₂² +…+ _n² = ²; v₁² + v₂² +…+ v_n² = v²; v₁ + v₂ +…+ v_n = v; (2.21)

тоді отримаємо:

² = v² + n² + 2v; (2.22)

доведено, що:

v = 0 (2.23)

тоді:

² = v² + n², (2.24)

або

²n = v² n+ ² (2.25)

якщо:

 = M = m n, (2.26)

тоді:

² = m² n, (2.27)

за формулою Гауса:

m² = ² n, (2.28)

тоді:

m² = v² n + m² n, (2.29)

або:

m² - m² n = v² n ,

m² (1 - 1  n) = v² n , (2.30)

m² (n - 1) n = v² n ,

m² (n - 1) = v² ,

Отже остаточно отримаємо:

m = v² (n - 1) (2.31)

Отримана формула називається формулою Бесселя, її використовують на практиці для визначення середньої квадратичної помилки окремого вимірювання.