7. Критерії оцінки точності результатів вимірювань

Для збільшення точності результату предмет вимірюють кілька разів і обчислюють його середнє значення:

L = (l₁+l₂+…+l_n)  n =

Якщо справжні помилки результатів:

₁ = l₁ – X; ₂ = l₂ – X; …_n = l_n – X;

де: l_і – результати рівно точних вимірювань, X – істинне значення.

скласти, а їх суми поділити на n вимірювань, то:

 n = l n – X; L = l n =  n + X, або  n = L – X,

за четвертою властивістю середнього арифметичного:

 n  0,

тому:

l n X,

Тобто середнє арифметичне при кількості вимірювань n наближається до свого істинного значення.

Середня квадратична помилка окремого вимірювання

Як зазначено вище випадкові помилки кожного з результатів вимірювань обчислюють за формулами:

₁ = l₁ – X; ₂ = l₂ – X; …_n = l_n – X;

За цими помилками оцінюють точність результатів вимірювань, обчислюючи значення середньої квадратичної помилки одного вимірювання:

m =  (₁² + ₂² + _n²)  n = n² n

де: n – число вимірювань;

Попередню формулу називають формулою Гауса.

Середня квадратична помилка m є більш надійним критерієм, ніж середня арифметична. Вона має наступні властивості:

- значення помилки не залежить від знаку окремих помилок, а лише від їх абсолютної величини;

- на величину помилки найбільше впливають більші за абсолютною величиною випадкові помилки, які і визначають точність вимірів;

- помилка має достатню стійкість при порівняно невеликій кількості вимірів;

- За величиною помилки можна судити про граничну помилку вимірів.

В теорії ймовірності доведено, що:

m = 1.25L

Гранична помилка

Потроєну (інколи приймають подвоєну) середню квадратичну помилку вважають граничною:

_lim = 3m

Інколи приймають _lim = 2m, але при цьому виникає ризик помилки на 5%. Знаючи значення граничних помилок, розробляють службові допуски помилок і нев’язок при геодезичних роботах.

Ймовірна помилка

Ймовірна помилка – це таке значення випадкової помилки, по відношенню до якої рівноможливі як більші так і менші випадкові помилки вона дорівнює:

r = 23 m,

Відносна похибка

Оцінку точності виміряних величин дуже часто виконують за допомогою відносної похибки. Відносною похибкою називається відношення абсолютної похибки до значення вимірюваної величини. Вона завжди записується у вигляді дробу, чисельник якої – абсолютна похибка, знаменник – виміряне значення даної величини.

Обробка результатів багаторазових рівноточних вимірювань однієї величини

У випадках, коли істинне значення вимірюваної величини невідоме, середню квадратичну помилку m визначають за відхиленням v_i окремих результатів вимірювань l_i від середнього арифметичного значення L.

Нехай l₁, l₂…l_n – результати вимірів якоїсь величини, істинне значення якої Х, а арифметична середина L. Тоді для і-того вимірювання значення випадкової помилки визначають як:

_і = l_i – X,

значення ймовірної помилки обчислюють за формулою:

v_i = l_i – L,

якщо знайти суму n таких рівностей, отримаємо:

v = l - nL

але

L = l n,

тобто

v = 0.

Тоді:

_і – l_i = l_i – X – (l_i – L) = L – X = 

де - деяка мала величина.

Звідси:

_i = v_i + 

в нашому випадку таких рівностей буде n:

₁ = v₁ + , ₂ = v₂ + ,…_n = v_n + ,

Якщо взяти квадрат цих рівностей і іх скласти, отримаємо:

₁² + ₂² +…+ _n² = v₁² + v₂² +…+ v_n² + n² + 2(v₁ + v₂ +…+ v_n),

якщо:

₁² + ₂² +…+ _n² = ²; v₁² + v₂² +…+ v_n² = v²; v₁ + v₂ +…+ v_n = v;

тоді отримаємо:

² = v² + n² + 2v;

доведено, що:

v = 0

тоді:

² = v² + n²,

або

²n = v² n+ ²

якщо:

 = M = m n,

тоді:

² = m² n,

за формулою Гауса:

m² = ² n,

тоді:

m² = v² n + m² n,

або:

m² - m² n = v² n ,

m² (1 - 1  n) = v² n ,

m² (n - 1) n = v² n ,

m² (n - 1) = v² ,

Отже остаточно отримаємо:

m = v² (n - 1)

Отримана формула називається формулою Бесселя, її використовують на практиці для визначення середньої квадратичної помилки окремого вимірювання.

Обробка результатів багаторазових нерівноточних вимірювань однієї величини

Вимірювання, що виконують в умовах, при яких результати не можна рахувати однаково надійними, називають нерівноточними.

Ступінь довіри до результату виміру називають вагою цього результату. Чим надійнішим є результат, тим більшою є його вага. Вагу результату обчислюють за формулою:

p = k  m²

де: k – довільне число, яке вибирають для зручності обчислень, однакове при обробці даної групи вимірювань.

Якщо результати нерівно точних вимірів однієї і тієї ж величини l₁, l₂, … l_n, а p₁, p₂, … p_n – їх ваги, кожне значення l_i можна розглядати як середнє арифметичне:

l_i = (l_i1 + l_i2 + … +l_in)  p

або

p_il_i = l_I

Число таких рівностей буде p. Взявши середнє арифметичне з лівих і правих частин рівнянь, отримаємо:

plp = l_Ip

Якщо позначити:

l_Ip = L₀

тоді:

L₀ = plp

або:

L₀ = (p₁l₁ + p₂l₂ + …+p_nl_n)  (p₁ + p₂ + …+p_n) = plp

За останньою формулою визначають загальне середнє арифметичне, яке дорівнює сумі добутків кожного результату на його вагу, поділене на суму ваг.

Для оцінки точності нерівноточних вимірів застосовують:

Середню квадратичну помилку вимірювання з вагою, рівною одиниці:

 = pv² (n – 1)

Середню квадратичну помилку виміру:

 = p² n

Середню квадратичну помилку загального арифметичного середнього:

M₀ = p

Середня квадратична помилка арифметичної середини

Нехай маємо ряд рівноточних вимірів однієї величини l₁, l₂, … l_n, арифметичну середину визначають за формулою:

L = (l₁, l₂, … l_n)  n = 1n  l₁ + 1n  l₂ +…+ 1n l_n

де: 1n – постійне число.

Доведено, що квадрат середньої квадратичної помилки функції загального вигляду дорівнює сумі квадратів добутків частинних похідних за кожним аргументом на середню квадратичну помилку відповідного аргументу:

M_z² = ((f x₁)  m₁)² + ((f x₂)  m₂)² + …+ ((f x_n) m_n)²

Якщо середня квадратична помилка вимірювання m, а середня квадратична помилка арифметичного середнього М, то відповідно до останньої формули:

M_l² = (1n²)  m_l1² + (1n²)  m_l2² + …+ (1n²)  m_ln²

Якщо припустити, що:

m_l1 = m_l2= … m_ln = m

тоді:

M_l² = (1n²)  (m_l1² + m_l2² + …+ m_ln²) = (1n²)  (nm²) = m² n

або:

M_l = m n.

Тобто середня квадратична помилка арифметичного середнього в n разів менша за середню квадратичну помилку вимірювання.