Тема 5.3

Интегральные уравнения

В пространстве рассмотрим уравнение

, (Ф)

где , (уравнение Фредгольма 2 рода).

Наряду с уравнением (Ф) рассмотрим соответствующие ему однородное и сопряженное однородное уравнения:

; (Ф₀)

(Ф^*₀)

Следующие результаты, связывающие между собой решения этих уравнений, носят название теорем Фредгольма.

Теорема 1. Однородные уравнения (Ф₀) и (Ф^*₀) имеют одно и то же, причем конечное, число линейно независимых решений.

Теорема 2. Уравнение (Ф) разрешимо для любого f тогда и только тогда, когда уравнение (Ф₀) имеет только нулевое решение.

Теорема 3. Уравнение (Ф) разрешимо для тех и только тех f, для которых равенство

выполняется для любого решения уравнения (Ф^*₀).

Теорема 4. Если функции k и f непрерывны, то теоремы Фредгольма справедливы и в пространстве C[a,b].

Будем далее рассматривать интегральное уравнение

(1)

5.3.1. Решить уравнение (1) при , если (таблица 5.3.1):

Таблица 5.3.1

Вариант
1	0
2	0
3	0
4		1
5	0	1
6	0	1		1
7	0
8	0	2
9	0	2		5
10	0

5.3.2. Не решая уравнения (1), определите, при каких оно имеет решение в пространстве (в этой задаче мы полагаем ) (таблица 5.3.2).

Таблица 5.3.2

Вариант	a	b
1	0
2		1
3	0	1
4	0
5		2
6
7	0
8	-1	1
9		2
10	0

5.3.3. Определить, при каких значениях параметра уравнение (1) разрешимо в пространстве при любой функции из (таблица 5.3.3).

Таблица 5.3.3

Вариант	a	b
1		2
2	0
3		1
4		1
5		1
6	0
7	0	2
8	0
9	-3	3
10	0

Примеры решения типовых задач

1. Решить уравнение (1) при .

Пример 1. .

Решение. Нам нужно решить уравнение

,

то есть

. (2)

Введем обозначения:

(3)

Тогда из (2) заключаем, что решение данного уравнения имеет вид

(4)

с неопределенными коэффициентами a и b. Для нахождения a и b подставим выражение (4) в систему (3):

или после вычисления интегралов в правых частях:

Отсюда . Подставляя эти значения в (4), окончательно получаем .

2. Не решая уравнения (1), определите, при каких оно имеет решение в пространстве (здесь мы полагаем ).

Пример 1. .

Решение. Рассматривается уравнение

. (5)

В соответствии с теоремой Фредгольма, данное уравнение разрешимо для тех и только тех , которые ортогональны любому решению сопряженного однородного уравнения.

Составим сопряженное однородное уравнение:

или

.

Введем обозначения

(6)

Тогда решение сопряженного однородного уравнения принимает вид

. (7)

Подставив (7) в (6), получим систему уравнений

или после вычисления интегралов,

Отсюда , а − произвольная постоянная. Следовательно, решение сопряженного однородного уравнения есть

,

где С − произвольная постоянная. Значит, данное уравнение разрешимо для тех и только тех , для которых

.

3. При каких значениях параметра уравнение (1) разрешимо в пространстве при любой функции из ?

Пример 1. .

Решение. Рассматрим уравнение

.

В соответствии с теоремой Фредгольма данное уравнение разрешимо при любой функции тогда и только тогда, когда соответствующее однородное уравнение имеет только нулевое решение.

Решим соответствующее однородное уравнение

,

или

Введем обозначения

(8)

Тогда

. (9)

Подставив (9) в (8), получим

После вычисления интегралов получаем систему

или

Последняя система (а вместе с ней и соответствующее однородное уравнение) имеет только нулевое решение, если и только если и . Значит, данное уравнение разрешимо в пространстве при любой функции тогда и только тогда, когда .

Список метрических/нормированных

пространств, встречающихся в книге

Таблица 1

Обозначение	Название	Стандартная метрика
1	2	3
	Пространство непрерывных функций на компакте К
	Пространство ограниченых непрерывных функций на промежутке
	Пространство n раз непрерывно дифференцируемых функций на отрезке
	Пространство ограниченных функций на множестве М
	Пространство (классов) измеримых функций, интегрируемых в р-й степени на множестве Х по мере
	Пространство (классов) измеримых функций, интегрируемых в р-й степени на отрезке по мере Лебега
	Пространство (классов) существенно ограниченных измеримых по мере функций на множестве Х
	Пространство (классов) существенно ограниченных измеримых по мере Лебега функций на

Окончание таблицы 1

1	2	3
	Пространство суммируемых в р-й степени числовых последовательностей
	Пространство суммируемых в р-й степени двухсторонних числовых последовательностей
	Пространситво ограниченных числовых последовательностей
c	Пространситво сходящихся числовых последовательностей
c0	Пространство сходящихся к нулю числовых последовательностей

Примечание. Каждое из перечисленных выше пространств становится банаховым при наделении его нормой

Литература

1 Антоневич, А. Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения / А. Б. Антоневич, Я. В. Радыно. − Мн. : БГУ, 2003. − 430 с.

2 Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С.В. Фомин. − М.: Наука, 1972. – 496 с.

3 Функциональный анализ и интегральные уравнения: лабораторный практикум / А. Б. Антоневич [и др.]. − Мн. : БГУ, 2003. − 179 с.

4 Антоневич, А. Б. Задачи и упражнения по функциональному анализу / А. Б. Антоневич, П. Н. Князев, Я. В. Радыно. − Мн. : Вышэйшая школа, 1978. − 204 с.

5 Кириллов, А. А. Теоремы и задачи функционального анализа /

А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани. − М.: Наука, 1979. – 381 с.

6 Миротин, А. Р. Функциональный анализ: мера и интеграл /

А. Р. Миротин – М.: URSS, 2012. – 169 с.

Учебное издание

МИРОТИН Адольф Рувимович

КУЛЬБАКОВА Жанна Николаевна

ПАРУКЕВИЧ Ирина Викторовна

Под редакцией А. Б. АНТОНЕВИЧА и Я. В. РАДЫНО

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Сборник задач

для студентов специальности 1-31 03 01 02 –

«Математика (научно-педагогическая деятельность)»

Редактор В. И. Шкредова

Корректор В. В. Калугина

Подписано в печать 27.12.2012. Формат 60х84 1/16.

Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 2,8.

Уч.-изд. л. 3,0. Тираж 100 экз. Заказ № 152.

Издатель и полиграфическое исполнение:

учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины».

ЛИ № 02330/0549481 от 14.05.2009.

Ул. Советская, 104, 246019, г. Гомель.

172