Тема 5.2

Сопряженные операторы

_{Определение. Пусть Е - предгильбертово пространство, Оператор А}^* _{в Е называется сопряженным к оператору А, если при всех х, у из Е справедливо равенство}

_.

_{Определение. Оператор А называется самосопряженным, если А}^*_{=А, другими словами, если при всех х, у из Е справедливо равенство}

_.

_{Теорема. Спектр ограниченного самосопряженного оператора А вещественен и содержит по крайней мере одно из чисел}

5.2.1. Найти сопряженный к оператору в гильбертовом пространстве (таблица 5.2.1).

Таблица 5.2.1

Вариант		Вариант
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

5.2.2. Найти сопряженный к оператору в пространстве (таблица 5.2.2).

Таблица 5.2.2

Вариант		Вариант
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

5.2.3. Найти сопряженный к оператору в гильбертовом пространстве с весом , где (таблица 5.2.3).

Таблица 5.2.3

Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

5.2.4. Если это возможно, привести пример самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве, точечный спектр которого совпадает с данным множеством (таблица 5.2.4).

Таблица 5.2.4

Вариант	S	Вариант	S
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Примеры решения типовых задач

1. Найти сопряженный к оператору в гильбертовом пространстве .

Пример 1. .

Решение. Воспользуемся тем фактом, что тоже является интегральным оператором, причем для ядер операторов и выполняется соотношение

. (1)

Другими словами,

.

В данном случае , если находится между и , и в остальных случаях. В силу (1) должно выполняться , если находится между и , и в остальных случаях. Возможно 2 случая:

1) . Тогда .

В этом случае утверждение « находится между и » равносильно неравенству , т. е. тому, что и . Отсюда (объясните последнее равенство).

2) . Тогда .

В этом случае утверждение « находится между и » равносильно неравенству , т. е. тому, что и . Отсюда (мы воспользовались тем, что ). Поэтому

.

2. Найти сопряженный к оператору в гильбертовом пространстве с весом , где .

Пример 1. .

Решение. В данном пространстве скалярное произведение задается следующим образом:

.

Следовательно,

.

Поскольку полученное выражение должно равняться , то в силу единственности сопряженного оператора имеем

.

3. Если это возможно, приведите пример самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве, точечный спектр которого совпадает с данным множеством .

Пример 1. .

Решение. Рассмотрим оператор в пространстве . Несложно проверить (сделайте это), что он является самосопряженным, и точечный спектр его совпадает с данным множеством .

Пример 2. .

Ответ: Данное множество не может быть точечным спектром самосопряженного оператора.

Указание. Необходимо воспользоваться свойством спектра самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве.