5 Гильбертовы пространства и интегральные уравнения

Тема 5.1

Гильбертовы пространства. Основные понятия

Определение. Пусть − векторное пространство над полем К

Отображение _, обладающее следующими свойствами:

₁₎

_{2) ;}

_{3) функционал линеен для любого у,}

_{называется скалярным произведением. Пространство L, наделенное скалярным произведением, напзывается предгильбертовым.}

_{Отметим, что вместо часто пишут.}

_{Определение. Предгильбертово пространство Н, полное относительно нормы}

_,

_{называется гильбертовым.}

_{Определение.} Пусть − предгильбертово пространство. Векторы. _{х, у из L называются ортогональными (пишут ), если}

_{Определение. Система векторов называется ортогональной, если входящие в нее векторы попарно ортогональны.}

_{Определение. Ортогональная система векторов называется ортонормированной, если при всех .}

_{Определение. Счетная ортонормированная система векторов называется ортонормированным базисом (о.н.б.), если каждый вектор х из L разлагается в ряд Фурье по этой системе, т. е. имеет место равенство}

_.

_{Определение. Система векторов называется максимальной, если из того, что , следует, что х=0.}

_{Определение. Система векторов называется полной, если линейная оболочка этой системы всюду плотна.}

_{Теорема (о базисе). Для счетной ортонормированной системы следующие утверждения равносильны:}

_{1) - о. н. б.;}

_{2) максимальна;}

_{3) полна.}

_{Определение. Пусть L – подпространство предгильбертова пространства Е, . Вектор называется проекцией вектора х на подпространство L, если .}

_{Определение. Пусть М – подмножество предгильбертова пространства Е. Ортогональным дополнением множества М называется множество}

_.

_{Теорема (о разложении). Для замкнутого подпространства Е гильбертова пространства Н имеет место равенство}

_.

_{Следствие. Для замкнутого подпространства Е гильбертова пространства Н имеет место равенство}

5.1.1 Пусть − заданное векторное пространство над полем . Проверить аксиомы скалярного произведения для функции (таблица 5.1.1).

Таблица 5.1.1

Вариант
1	2	3
1
2
3
4
5

Окончание таблицы 5.1.1

1	2	3
6
7
8
9
10

5.1.2 В гильбертовом пространстве найти проекцию вектора на заданное подпространство (таблица 5.1.2).

Таблица 5.1.2

Вариант
1	2	3	4
1
2
3			,
4			,
5			,

Окончание таблицы 5.1.2

1	2	3	4
6
7
8
9
10

5.1.3. Доказать, что в указанном нормированном пространстве со стандартной нормой нельзя ввести скалярное произведение, порождающее эту норму (таблица 5.1.3).

Таблица 5.1.3

Вариант	X	Вариант	X
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

5.1.4. Вычислить угол между данными векторами : а) в пространстве , б) в пространстве (пространства считать вещественными) (таблица 5.1.4).

Таблица 5.1.4

Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8	1
9
10

5.1.5. Становится ли система векторов после нормировки ортонормированным базисом пространства (мы полагаем единица стоит на n-ном месте) (таблица 5.1.5).

Таблица 5.1.5

Вариант
1	2	3	4
1
2
3

Окончание таблицы 5.1.5

1	2	3	4
4
5
6
7
8
9
10

5.1.6. Для данного подмножества М гильбертова пространства найти ортогональное дополнение (таблица 5.1.6).

Таблица 5.1.6

Вариант		М
1	2	3
1		при
2		при
3
4

Окончание таблицы 5.1.6

1	2	3
5
6
7		при
8		при
9
10

Примеры решения типовых задач

1. Доказать, что данная функция задает скалярное произведение в ( − линейное пространство над полем ).

Пример 1. ,

.

Решение. Далее положим для краткости . Функция определена для любых в силу неравенства

.

Остальные аксиомы скалярного произведения легко проверяются. Проверим, например, вторую аксиому:

.

Следовательно, данная функция задает скалярное произведение в пространстве .

2. В гильбертовом пространстве найти проекцию вектора на заданное подпространство .

Пример 1.

,

.

Решение. По определению проекции требуется найти такой вектор , что , то есть

.

Ясно, что это условие может выполняться для любых в том и только в том случае, если

Преобразуем эту систему:

,

,

Решая систему, получим .

Значит, проекция вектора на подпространство есть вектор

3. Доказать, что в указанном нормированном пространстве со стандартной нормой нельзя ввести скалярное произведение, порождающее эту норму.

Пример 1. .

Решение. Допустим противное, то есть что в можно ввести скалярное произведение, порождающее стандартную норму. Тогда (как и в любом предгильбертовом пространстве) должно выполняться равенство параллелограмма:

. (1)

Но если , то легко подсчитать, что

, , , .

Подстановка этих данных в (1) приводит к противоречию.

4. Вычислить угол между векторами в пространстве над .

Пример 1. , , .

Решение. По определению угол между ненулевыми векторами х и у удовлетворяет соотношениям

.

Поскольку в нашем случае

,

то , а тогда искомый угол равен .

5. Становится ли система векторов после нормировки ортонормированным базисом пространства _, если (единица стоит на n-ном месте)?

Пример 1. , .

Решение. Легко проверить, что для любых _{(проверьте)}. Кроме того, система обладает свойством максимальности. Действительно, возьмем и допустим, что . Тогда . Отсюда , т. е. . Итак, система максимальна. Значит, после нормировки станет ортонормированным базисом (почему?).

6. Для данного подмножества М гильбертова пространства найти ортогональное дополнение .

Пример 1. , при .

Решение. Заметим, что любую функцию можно представить в виде , причем

, .

Пусть теперь . Тогда , а так как , то . Значит,

откуда следует, что почти всюду на .

Обратно, если почти всюду на , то , то есть .

Значит, почти всюду при .

Пример 2. , .

Решение. Введем обозначение . Тогда имеем

.

Пусть

- одномерное подпространство, порожденное функцией . Тогда

.

Следовательно, , то есть .