4 Линейные ограниченные функционалы и операторы в нормированных пространствах

Тема 4.1

Линейные ограниченные функционалы

Определение. Пусть – нормированное пространство над полем ( ). Ограниченный линейный оператор называется ограниченным (непрерывным) линейным функционалом.

Пространство ограниченных линейных функционалов на Х обозначается (или ) и называется сопряженным к Х.

Ниже для числа через q будет обозначаться такое число, что (при считается, что ).

Теорема (об общем виде линейного ограниченного функционала в ). Пусть – пространство с -конечной мерой, . Для любого ограниченного линейного функционала f на существует такое единственное , что

,

и обратно, любой функционал такого вида линеен и ограничен на . При этом .

Примечание. Пространство состоит из существенно ограниченных функций (функция называется существенно ограниченной на отрезке , если почти всюду на ). Норма в пространстве задается следующим образом:

{ п.в. на }.

Следствие (об общем виде линейного ограниченного функционала в ). Пусть . Для любого ограниченного линейного функционала f на существует такое единственное , что

,

и обратно, любой функционал такого вида линеен и ограничен на . При этом .

Теорема (об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве ). Для любого ограниченного линейного функционала f на существует такое единственное , что

,

и обратно, любой функционал такого вида линеен и ограничен на . При этом .

Ниже через обозначается пространство функций ограниченной вариации на , - вариация функции .

Теорема (об общем виде линейного ограниченного функционала в ). Для любого ограниченного линейного функционала f на существует единственная непрерывная слева функция , такая, что F(a)=0 и

,

и обратно, любой функционал такого вида линеен и ограничен на . При этом .

4.1.1. Используя теорему об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве , выяснить, задает ли данная формула линейный ограниченный функционал. В случае положительного ответа найти его норму (таблица 4.1.1).

Таблица 4.1.1

Вариант
1	2
1
2
3
4

Окончание таблицы 4.1.1

1	2
5
6
7
8
9
10

4.1.2. Используя теорему об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве , выяснить, задает ли данная формула линейный ограниченный функционал. В случае положительного ответа найти его норму (таблица 4.1.2).

Таблица 4.1.2

Вариант
1	2	3
1	1
2	2
3	3
4	7/4

Окончание таблицы 4.1.2

1	2	3
5	3
6	5/4
7	2
8	4
9	1
10	3

4.1.3. Используя теорему об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве , выяснить, задает ли данная формула линейный ограниченный функционал. В случае положительного ответа найти его норму (таблица 4.1.3).

Таблица 4.1.3

Вариант	p	a	b
1	2	3	4	5
1	9/2	-1	1
2	1	3	9
3	9	0	2
4	6/5	-1	1

Окончание таблицы 4.1.3

1	2	3	4	5
5	1	0	1
6	2	-1	1
7	2	-1	1
8	7	0	2
9	9/5	-1	1
10	5/4	0	1

4.1.4. Используя теорему об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве , выяснить, задает ли данная формула линейный ограниченный функционал. В случае положительного ответа найти его норму (таблица 4.1.4).

Таблица 4.1.4

Вариант	a	b
1	2	3	4
1	0	4
2	-1	3
3	0	5

Окончание таблицы 4.1.4

1	2	3	4
4	-3	3
5	-2	2
6	-2	1
7	-1	1
8	-2	1
9	-4	1
10	1	3

4.1.5. Пусть Х – банахово пространство над полем К. Задает ли данная формула линейный ограниченный функционал ? В случае положительного ответа найти его норму (таблица 4.1.5).

Таблица 4.1.5

Вариант
1	2	3	4
1	с
2

Окончание таблицы 4.1.5

1	2	3	4
3	с
4	с
5
6
7
8
9
10

Примеры решения типовых задач

1. Используя теоремы об общем виде линейных ограниченных функционалов в различных пространствах, выяснить, задает ли данная формула линейный ограниченный функционал. В случае положительного ответа найти его норму.

Пример 1. , .

Решение. По теореме об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве , для любого существует единственный вектор , такой, что для любого выполняется равенство . Обратно, если выполняется это равенство, то , причем . Рассмотрим вектор , у которого , , , а остальные координаты равны нулю. Тогда , и для этого вектора . В силу указанной теоремы является линейным ограниченным функционалом в пространстве , и

.

Пример 2. , .

Решение. Рассмотрим вектор

.

Для этого вектора выполняется равенство . Но (почему?). Значит, в силу теоремы об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве функционал не является линейным ограниченным.

Пример 3. , .

Решение. По теореме об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве для любого существует единственный вектор , такой, что выполняется равенство

,

и обратно. При этом . Рассмотрим вектор , для которого . Так как , то является линейным ограниченным функционалом, причем .

Пример 4. , .

Решение. По теореме об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве , для любого существует единственный вектор , такой, что выполняется равенство , и обратно. При этом . В данном случае , а поэтому .

Рассмотрим вектор , такой, что , а остальные . Для этого вектора . Так как , то является линейным ограниченным функционалом, причем

.

Пример 5. , .

Решение. По теореме об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве при для любого существует единственный вектор , такой, что выполняется равенство , и обратно. При этом . В данном случае , тогда . Преобразуем интеграл

Функция

принадлежит , так как функция интегрируема по Лебегу на отрезке . Отсюда в силу указанной теоремы является линейным ограниченным функционалом, причем

.

Пример 6. , .

Решение. По теореме об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве для любого существует единственная непрерывная слева функция , такая, что и выполняется равенство , и обратно, причем . Подберем функцию так, чтобы . При этом мы будем пользоваться следующей формулой:

(1)

которая справедлива, если – кусочно-непрерывно дифференцируемая функция, имеющая на точки разрыва первого рода со скачками соответственно, а вне точек разрыва ограниченную производную. Преобразуем , выполнив в интеграле замену . Тогда

.

Ввиду формулы (1) отсюда следует, что имеет 2 точки разрыва первого рода: со скачком в этой точке и со скачком . При этом на интервалах непрерывности должно выполняться следующее равенство:

.

Поэтому на интервалах непрерывности, содержащихся в отрезке , функция имеет вид , а на интервалах непрерывности, содержащихся в отрезке , функция постоянна (со своей константой на каждом интервале!). Учитывая, что функция согласно теореме должна быть непрерывной слева на отрезке и удовлетворять условию , получим (рисунок 7):

Так как

,

то . Значит, является линейным ограниченным функционалом, причем .

Рисунок 7 – График функции

2. Пусть Х – банахово пространство над полем К. Задает ли данная формула линейный ограниченный функционал ? В случае положительного ответа найти его норму.

Пример 1. , .

Решение. Очевидно, что функционал линеен. Оценим сверху:

, (2)

т. е. число 3 является константой ограниченности для . Значит, − ограниченный линейный функционал, причем

. (3)

Подберем ненулевой вектор так, чтобы неравенства (2) обратились в равенства. Подходит . Имеем , . Следовательно,

(4)

Из (3) и (4) заключаем, что .

Пример 2. , .

Решение. Очевидно, что − линейный функционал. Так как

,

то ограничен, причем (см. пример 1)

. (5)

Возьмем . Имеем , . Значит (см. пример 1),

. (6)

Из неравенств (5) и (6) получаем .

Пример 3. , .

Решение. Очевидно, − линейный функционал. Так как

, (7)

то ограничен, причем (см. пример 1)

. (8)

Подберем теперь непрерывную функцию так, чтобы выполнялись следующие условия, гарантирующие, что все неравенства в (7) обращаются в равенства:

.

Например, . Для нее , . Тогда имеем (см. пример 1)

. (9)

Вследствие неравенств (8) и (9) получаем .