(Формула 3.7),
Наприклад, з’ясуємо, чи подібні два класи учнів (7-А і 7-Б) за рівнем знань з математики за F-критерієм (на основі виконання тесту). Для цього спочатку обчислимо дисперсію (σ12) для першого класу (7-А) і дані занесемо до табл. 2.7, потім обчислимо дисперсію (σ22) для 7-Б класу (табл. 2.8) і знайдемо Femp.
Таблиця 3.6
Обчислення дисперсії для 7-А кл.
|
Частота оцінок, f |
хі
–
|
(хі – )2 |
f· (хі – )2 |
5 |
2 |
-2,81 |
7,70 |
15,4 |
6 |
4 |
-1,81 |
3,28 |
13,12 |
7 |
7 |
-0,81 |
0,66 |
4,62 |
8 |
8 |
0,19 |
0,04 |
0,32 |
9 |
6 |
1,19 |
1,42 |
8,52 |
10 |
3 |
2,19 |
4,80 |
14,4 |
11 |
1 |
3,19 |
10,18 |
10,18 |
N = 31 |
= 7,81 |
Σ = 98,24 |
||
σ12 = 3,17 |
||||
Кількість
правильно виконаних тестових завдань
із математики, хі
Таблиця 3.7
Обчислення дисперсії для 7-Б кл.
Кількість правильно виконаних завдань із математики, хі |
Частота оцінок, f |
хі – |
(хі – )2 |
f· (хі – )2 |
5 |
1 |
-2,69 |
7,24 |
7,24 |
6 |
4 |
-1,69 |
2,86 |
11,44 |
7 |
5 |
-0,69 |
0,48 |
2,40 |
8 |
9 |
0,31 |
0,10 |
0,90 |
9 |
7 |
1,31 |
1,72 |
12,04 |
10 |
2 |
2,31 |
5,34 |
10,68 |
11 |
1 |
3,31 |
11,00 |
11,00 |
N = 29 |
= 7,69 |
Σ = 55,7 |
||
σ22 = 1,92 |
||||
Потім знаходимо у F-таблиці (табл. 3.8) значення Fkrit. У таблиці шукаємо значення сукупності з більшою (σ12) та з меншою дисперсією (σ22). Якщо Femp > Fkrit, то вибірки суттєво різняться, якщо Femp ≤ Fkrit, то вибірки схожі за даною ознакою.
У нашому прикладі Femp Fkrit (1,65 1,70), отже, 7-А і 7-Б класи істотно не відрізняються за результатами своїми знаннями з математики. Вірогідність того, що ці класи подібні, складає 95%.
Таблиця 3.8
Таблиця для визначення достовірності F-критерію (достовірність 95%)
Знаменник N2 – 1 |
Чисельник N1 – 1 |
|||||
4 |
5 |
6 |
12 |
24 |
∞ |
|
4 |
6,4 |
6,3 |
6,2 |
5,9 |
5,8 |
5,6 |
5 |
5,2 |
5,1 |
5,0 |
4,7 |
4,5 |
4,4 |
6 |
4,5 |
4,4 |
4,3 |
4,0 |
3,8 |
3,7 |
7 |
4,1 |
4,0 |
3,9 |
3,6 |
3,4 |
3,2 |
|
|
|||||
8 |
3,8 |
3,7 |
3,6 |
3,3 |
3,1 |
2,9 |
9 |
3,6 |
3,5 |
3,4 |
3,1 |
2,9 |
2,7 |
10 |
3,5 |
3,3 |
3,2 |
2,9 |
2,7 |
2,5 |
11 |
3,4 |
3,2 |
3,1 |
2,8 |
2,6 |
2,4 |
|
|
|||||
12 |
3,3 |
3,1 |
3,0 |
2,7 |
2,5 |
2,3 |
13 |
3,2 |
3,0 |
2,9 |
2,6 |
2,4 |
2,2 |
14 |
3,1 |
3,0 |
2,9 |
2,5 |
2,3 |
2,1 |
15 |
3,1 |
2,9 |
2,8 |
2,5 |
2,3 |
2,1 |
|
|
|||||
16 |
3,0 |
2,9 |
2,7 |
2,4 |
2,2 |
2,0 |
17 |
3,0 |
2,8 |
2,7 |
2,4 |
2,2 |
2,0 |
18 |
2,9 |
2,8 |
2,7 |
2,3 |
2,1 |
1,9 |
19 |
2,9 |
2,7 |
2,6 |
2,3 |
2,1 |
1,9 |
|
|
|||||
20 |
2,9 |
2,7 |
2,6 |
2,3 |
2,1 |
1,8 |
22 |
2,8 |
2,7 |
2,6 |
2,2 |
2,0 |
1,8 |
24 |
2,8 |
2,6 |
2,5 |
2,2 |
2,0 |
1,7 |
26 |
2,7 |
2,6 |
2,5 |
2,2 |
2,0 |
1,7 |
|
|
|||||
28 |
2,7 |
2,6 |
2,4 |
2,1 |
1,9 |
1,7 |
30 |
2,7 |
2,5 |
2,4 |
2,1 |
1,9 |
1,6 |
40 |
2,6 |
2,5 |
2,3 |
2,0 |
1,8 |
1,5 |
60 |
2,5 |
2,4 |
2,3 |
1,9 |
1,7 |
1,4 |
|
|
|||||
120 |
2,5 |
2,3 |
2,2 |
1,8 |
1,6 |
1,3 |
∞ |
2,4 |
2,2 |
2,1 |
1,8 |
1,5 |
1,0 |
N1 – кількість членів І сукупності.
N2 – кількість членів ІІ сукупності.
Якщо Femp > Fkrit, то для більш точної перевірки і встановлення достовірності різниці класів використовується t-критерій, що обчислюється за формулою:
(Формула
3.8)
д
е
– середнє арифметичне першої сукупності;
– середнє арифметичне другої сукупності;
N1 – обсяг першої вибірки (кількість членів першої сукупності);
N2 – обсяг другої вибірки (кількість членів другої сукупності);
σ12 – дисперсія першої сукупності;
σ22 – дисперсія другої сукупності.
temp порівнюють з tkrit, поданим у таблиці 3.9.
Таблиця 3.9
Таблиця для визначення достовірності t – критерію
N1 + N2 – 2 2 |
Достовірність |
|
95% |
99% |
|
1 |
12,71 |
63,66 |
2 |
4,30 |
9,93 |
3 |
3,19 |
5,84 |
4 |
2,78 |
4,60 |
5 |
2,57 |
4,03 |
8 |
2,30 |
3,36 |
10 |
2,23 |
3,17 |
12 |
2,18 |
3,06 |
14 |
2,15 |
2,98 |
16 |
2,12 |
2,92 |
18 |
2,10 |
2,88 |
20 |
2,09 |
2,85 |
22 |
2,07 |
2,82 |
24 |
2,06 |
2,80 |
26 |
2,05 |
2,78 |
28 |
2,05 |
2,76 |
30 |
2,04 |
2,75 |
40 |
2,02 |
2,70 |
60 |
2,00 |
2,66 |
120 |
1,98 |
2,62 |
∞ |
1,96 |
2,58 |
N1 – кількість членів І сукупності.
N2 – кількість членів ІІ сукупності.
Якщо temp > tkrit, то сукупності різняться за досліджуваною ознакою, вони не однакові (з 95% ймовірністю), якщо temp ≤ tkrit, то відмінностей немає, досліджувані групи подібні за певною ознакою і можуть бути використані для подальшого експерименту у ролі контрольних та експериментальних груп.