4.1 Общие понятия и определения

Граф G как математический объект - это совокупность двух множеств: непустого множества вершин V и множества ребер E, элементы которого представляет собой неупорядоченные (для ориентированного графа - упорядоченные) пары элементов из множества V.

G(V,E) = < V; E >, n(V) > 0, E c V x V

для неориентированного графа E = E^(-1) (бинарное отношение Е - симметрично).

Минимальный граф состоит из одной вершины.

Каждому неориетированному графу можно поставить в соответствие ориентированный граф, в котором каждое ребро заменено двумя противоположно ориентированными ребрами, инцидентными тем же вершинам.

Пусть v1 и v2 - вершины, e = (v1,v2) - соединяющее их ребро.

Тогда вершина v1 и ребро e инцидентны, вершина v2 и ребро e также инцидентны. Два ребра, инцидентные одной вершине, называются смежными; две вершины, инцидентные одному ребру, также называются смежными.

Обычно граф изображают в виде диаграммы: вершины - точками, ребра - линиями, соединяющими инцидентные вершины.

4.2 Способы задания графов

Множество вершин и множество рёбер для конечных графов задаются как правило перечислением. Возможно задание графа описанием отношения инцидентности.

1.Отношение инцидентности задано матрицей смежности:

- столбцы и строки матрицы - вершины графа;

- для смежных вершин - элемент матрицы - 1, для остальных - 0;

- для неориентированного графа эта матрица всегда симметрична;

- число рёбер равно числу единиц выше или ниже главной диагонали матрицы, включая и диагональ.

2.Отношение инцидентности задано матрицей инцидентности:

- столбцы матрицы соответствуют вершинам графа,а строки-рёбрам;

- если ребро e(i) инцидентно вершине v(j),то элемент матрицы E(i,j)=1,в противном случае E(i,j)=0.

Таким образом в каждой строке одна или две единицы, остальные - нули (если петля, то две единицы).

Для ориентированного графа при заполнении матрицы:

E(i,j)=-1,если v(i)-начало ребра.

E(i,j)=1,если v(i)-конец ребра.

E(i,j)=a(где a-любое число, кроме -1,1,0),если ребро-петля в вер-

шине v(i).

В остальных случаях E(i,j)=0.

3.Список рёбер.

---------T-----------¬

¦ e(i) ¦ v1,vn ¦ e(i)-ребра

+--------+-----------+ v1,vn-пара вершин, соединяемых ребрами.

¦ 1. ¦ ¦

¦ 2. ¦ ¦

¦ ... ¦ ¦

L--------+------------

4.3 Элементы графов

Граф без кратных ребер называют полным, если каждая пара вер-

шин соединена ребром.

Граф H называют частью графа G, если множество вершин графа H

принадлежит множеству вершин графа G и множество рёбер графа H

принадлежит множеству рёбер графа G,т .е.:

V(H) c V(G); E(H) c E(G)

Часть графа H называется суграфом, если она содержит все ершины графа G.

Суграф H для неориентированного графа G называется покрывающим суграфом, если любая вершина последнего инцидентна хотя бы одному ребру из H.

Подграф G(U) графа G на множестве вершин U (U c V)- это часть графа, которой принадлежат все ребра с обоими концами из U.

Звёздный граф для вершины v c G состоит из всех рёбер с началом и концом в вершине v. Множество вершин звёздного графа состоит из вершины v и других смежных с ней вершин.