Тема №3. Элементы алгебры логики. План

3.1 Простые высказывания; логические связки ...........

3.2 Составные высказывания; таблицы истинности ........

3.3 Логические законы .................................

3.4 Построение заданных составных высказываний ........

3.5 Отношения между высказываниями ....................

3.6 Аргументы .........................................

3.1 Простые высказывания; логические связки

Простые высказывания будем обозначать p, q, r, ...Основное свойство простого высказывания: высказывание может быть или ложно(False, 0, "Hет") или истинно(True,1, "Да"). В дальнейшем тексте примем обозначения "0" и "1".

Для построения составных высказываний будем использовать пять логических связок:

1. Конъюнкция ( логическое " И " ) p /\ q

2. Дизъюнкция ( логическое " ИЛИ " ) p \/ q

3. Отрицание ( логическое " Hе " ) ~p

4. Эквивалентность ( тогда и только тогда) p = q

5. Импликация ( если ... то ) p -> q

Примеры:

p - " жарко "

q - " идет дождь "

r - " очень сыро "

Жарко " И " идет дождь p /\ q

Если идет дождь ,то очень сыро q -> r

Таблицы истинности

Конъюнкция Дизъюнкция Отрицание

p ¦ q ¦ p /\ q p ¦ q ¦ p \/ Q p ¦ ~p

--+---+-------- ---+---+------- --+---

1 ¦ 1 ¦ 1 1 ¦ 1 ¦ 1 1 ¦ 0

1 ¦ 0 ¦ 0 1 ¦ 0 ¦ 1 0 ¦ 1

0 ¦ 1 ¦ 0 0 ¦ 1 ¦ 1

0 ¦ 0 ¦ 0 0 ¦ 0 ¦ 0

Эквивалентность Импликация

p ¦ q ¦ p = q p ¦ q ¦ p -> q

---+---+---------- ---+---+-------

1 ¦ 1 ¦ 1 1 ¦ 1 ¦ 1

1 ¦ 0 ¦ 0 1 ¦ 0 ¦ 0

0 ¦ 1 ¦ 0 0 ¦ 1 ¦ 1

0 ¦ 0 ¦ 1 0 ¦ 0 ¦ 1

3.2 Составные высказывания; таблицы истинности

Используя простые высказывания, логические связки(операции) и скобки, которые меняют порядок выполнения действий, можно строить составные высказывания (наибольший приоритет при выполнении имеет логическая связка "отрицание", затем "конъюнкция" и "дизъюнкция", после этого две остальные логические связки; логические связки одного приоритета выполняются в составном высказывании по порядку слева направо; если в высказывании есть скобки, то сначала выполняются операции в скобках в соответствии с их приоритетом; если знак отрицания стоит над частью высказывания, то считают, что эта часть взята в скобки (хотя скобки на самом деле отсутствуют)).

В задачах контрольных работ в составных высказываниях используются только три простых высказывания: p, q, r. В принципе их можно трактовать как аргументы, которые могут принимать только два значения "0" и "1", а составное высказывание - как функцию, которая в зависимости от конкретных значений аргументов принимает значения "0" или "1". Значения этой функции задаются табличным способом (таблицей истинности составного высказывания).

При построении таблиц истинности для составных высказываний в случае трех аргументов достаточно заполнить восемь строк, так как они исчерпывают все возможные комбинации значений аргументов.

Пример 1 Построить таблицу истинности для А = (~p \/ q) /\ ~r

Таблица истинности А и ее пошаговое построение

----T---T---T---T--------T---T-----------¬

¦ p ¦ q ¦ r ¦~p ¦(~p\/q) ¦~r ¦(~p\/q)/\~r¦

+---+---+---+---+--------+---+-----------+

¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦

¦ 1 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦

¦ 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦

¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 0 ¦

¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦

¦ 0 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦

¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦

¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦

+---+---+---+---+--------+---+-----------+

¦ шаг ¦ 1 ¦ 2 ¦ 3 ¦ 4 ¦

L-----------+---+--------+---+------------

Для однозначности в дальнейшем комбинации значений аргументов

будем принимать такими, как в предыдущей таблице: 1-я строка -

111, 2-я строка 110 ... 8-я строка 000.

3.3 Логические законы

Пример 2 Построить таблицу истинности для В = ~(p -> q) /\ q.

Таблица истинности

----T---T----T--------T----------¬

¦ p ¦ q ¦p->q¦~(p->q) ¦~(p->q)/\q¦

+---+---+----+--------+----------+

¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦

¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 0 ¦

¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦

¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦

+---+---+----+--------+----------+

¦ шаг ¦1 ¦ 2 ¦ 3 ¦

L-------+----+--------+-----------

Если при построении таблицы истинности составного высказывания результат во всех строках оказался однозначным, то такое составное высказывание называют логическим законом.

1. Логические законы для дизъюнкции:

(p \/ q) = (q \/ p); (p \/ p) = p;

(p \/ 0) = p; (p \/ 1) = 1.

2. Логические законы для конъюнкции:

(p /\ q) = (q /\ p); (p /\ p) = p;

(p /\ 0) = 0 ; (p /\ 1) = p.

3. Закон двойного отрицания:

p = ~(~p)

4. Законы де-Моргана:

~(p \/ q) = (~p /\ ~q); ~(p /\ q) = (~p \/ ~q).

5. Закон контрапозиции:

(p -> q) = (~q -> ~p).

3.4 Построение заданных составных высказываний

В ряде практических случаев возникает необходимость построения составных высказываний с заданной таблицей истинности. Один из методов построения дает следующая теорема.

Теорема. Всякая логическая функция, кроме const "0" может быть представлена в виде дизъюнкции основных конъюнкций. Такое- представление называется "совершенной дизъюнктивной нормальной формой" представляемой функции (СДHФ ). Const "0" можно представить как p /\ ~p.

Таблица основных конъюнкций для трех аргументов

----T---T---T---------------T------------¬

¦ p ¦ q ¦ r ¦ осн-ые кон-ции¦ строка ист.¦

+---+---+---+---------------+------------+

¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ p /\ q /\ r ¦ 1 ¦

¦ 1 ¦ 1 ¦ 0 ¦ p /\ q /\~r ¦ 2 ¦

¦ 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ p /\~q /\ r ¦ 3 ¦

¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦ p /\~q /\~r ¦ 4 ¦

¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦~p /\ q /\ r ¦ 5 ¦

¦ 0 ¦ 1 ¦ 0 ¦~p /\ q /\~r ¦ 6 ¦

¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦~p /\~q /\ r ¦ 7 ¦

¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦~p /\~q /\~r ¦ 8 ¦

L---+---+---+---------------+-------------

Для того, чтобы получить функцию с заданной таблицей истинности, достаточно выбрать в таблице основные конъюнкции из строк, в которых значения функции равны 1 и связать их знаками дизъюнкции.

Пример. Построить составное высказывание, которое истинно в строках 2 и 6 (т.е. с таблицей истинности 01000100).

А = (p /\ q /\~r)\/(~p /\ q /\~r) - выбираем из таблицы основные конъюнкции из строк 2 и 6 и связываем их дизъюнкцией.

Полученное высказывание можно упростить, используя теоретико-множественное преобразование высказывания (будет рассмотрено ниже).