Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный педагогический университет им. М. Танка

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Algebra_10-11_trenazher (2).doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2025

Размер:

6.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

6.Уравнения, решаемые с помощью применения свойств ограниченности тригонометрических функций

1) .

Так как и

для , то уравнение

равносильно системе

Так как , то

— корень исходного уравнения.

Ответ: .

Наиболее часто встречающиеся ошибки

!Проверь, не делаешь ли ты так!

1.arccos(-0,5) = - , это неверно. Правильно будет так: arccos(-0,5) = π - = = ,

т.к.арккосинусом числа -0,5 называется угол, заключенный в промежутке , косинус которого равен -0,5.

2. Решение уравнения cos4x = 0,5, x = , это неверно, правильно будет: x =

3.При решении уравнения 2sinx +cosx = 1 получают , это не-

верно, уравнение 2sinx +cosx = 1 не однородное относительно sinx и cosx, его решение приведено в п.3.

Контрольный тест

1.Вычислите: аrccos(-1) + arcsin(-1) + arctg(-1).

2.Решите уравнение : а) sin = 0,5 ; б) tgx = 2; в) cos .

3.Решите уравнение:

а) 8sin x + cos2x +7= 0; б) sin2 x +2sinxcosx - 3cos2x +2 = 0;

в) 3sinx - 4cosx = 0.

Свойства обратных тригонометрических функций в таблицах(5)

Функция Свойства	y= arcsinx	y =arccosx	y=arctgx
Область определения (D)	[-1;1]	[-1;1]	(-∞;+∞)
Множество значений (E)	[-π/2;π/2]	[0;π]	(-π/2;π/2)
Четность или нечетность функции	Нечетная	Не является четной и не является нечетной	Нечетная
Знаки функции	аrcsinx <0 для , аrcsinx >0 для	arccosx >0для ,	arctgx > 0 для
Нули функции	x=0	x=1	x=0
Промежутки возрастания	[-1;1]	-	(-∞;+∞)
Промежутки убывания	-	[-1;1]	-
Наибольшее значение	π/2	π	-
Наименьшее значение	- π/2	0	-
Графики

Тестовые задания: свойства обратных тригонометрических функций в таблицах (6)

	Задание	Ответы
1	Значение выражения arcsin (sin360º) равно	1) 180°; 2) 0°; 3) 90°; 4) 180°; 5) 360°.
2	Значение выражения arcsin (sin3) равно	1) π-3; 2)3; 3)π/2-3; 4)3- π /2; 5) 2 π-3 1
3	Значение выражения arccos (cos3) равно	1) π-3; 2)3; 3)π/2-3; 4)3- π /2; 5) 2 π-3
4	Значение выражения arcsin (cos3) равно	1) π-3; 2)3; 3)π/2-3; 4)3- π /2; 5) 2 π-3
5	Значение выражения arcsin(sin4) равно	1) π-4; 2)4; 3)π/2-4; 4)4- π /2; 5) π-4
6	Значение выражения arcsin(sin13) равно	1) π-13; 2)13; 3)π/2-13; 4)13- 4π ; 5) 4 π-13
7	Значение выражения arccos (cos10) равно	1) π-10; 2)10; 3)π/2-10; 4)10- 4π ; 5) 4 π-10
8	Значение выражения arctg(tg34) равно	1) 11π-34; 2)34; 3)7π/2-34; 4)34- 11π ; 5) 4 π-34
9	Решите уравнение arccos(x-2) = π/3	1) π/3-+2 ; 2)2,5; 3)2,5 ; 4) 1,5; 5) 2π/3
10	Решите уравнение arcsin (x²+2x -2,5) = π/6	1) π/6-2,5 ; 2)2;-1; 3)-3;1 ; 4) 1;2; 5) π/3; -π/3
11	Решите уравнение arctg(tg3x) = - π/4	1) -3; 2)-1/4; 3)-π/12; 4)3- π /4; 5) -4 π
12	Упростите выражение аrctg2,4- arccos0,6	1) аrctg 16/63; 2)1,8; 3)-16/63; 4)3; 5) -0,2
13	Найдите область определения функции	1) [-1;1] ; 2) [1;3) 3) (1;3) ; 4) (-1,1); 5) [1;3]
14	Решите неравенство arcsinx < 2arccosx	1) [-1;1/2] ; 2) [1/2;3) 3) (-1;1) ; 4) 5)
15	Решите неравенство	1)1; 2)(1/3;2,5) 3)-1/3; 4) (-1;1); 5) 1/3
16	Решите уравнение	1)1; 2)-1/2;1. 3)-1/3;1 4)-1;1; 5)
17	Решите уравнение	1)1/2; 2)-1/2;1. 3)-1/3;1 4)-1;1; 5)
18	Решите уравнение	1)1; 2)2. 3)-1; 4)-1;1; 5)-2
19	Решите уравнение	1)1; 2)2. 3)-1; 4)-1;1; 5) -0,5
20	Решите неравенство arccosx >arccos( 3x-1)	1) [-1;1/2] ; 2) [1/2;3) 3) (-1;1) ; 4) 5) (1/2;2/3]
21	Решите уравнение	1) -1; 2)-1/2;1. 3)-1/3;1 4)-1;1; 5)
22	Решите уравнение	1. 2)(-1;1); (-π;π). 3)(-1;1) 4) (-π;π);(-1;1); 5)
23	Решите уравнение	1.0,5. 2)0. 3)-1; 4)-1; 5)π/2
24	Наибольшее значение функции равно	1)1; 2)0. 3)-1; 4)-1; 5)π/2
25	Наибольшее значение функции равно	1)1; 2)0. 3)-1; 4)-1; 5)π

Виды тригонометрических уравнений в таблицах(7)

Тип уравнения

Метод решения

Применение

Примечания

Простейшие тригонометрические

sinx = a

a>1 или a< -1, не имеет решений.

a= 1, x=

a= -1,

x= -

a= 0, x=

x= (-1)ⁿarcsina + πn, n .

При решении тригонометрических уравнений, сводящихся к простейшим, используется общий вид решения

При отыскании решений, принадлежащих

некоторому отрезку, можно не использовать общий вид решения уравнения.

cosx =a

a>1 или a< -1 не имеет решений.

a = 1 решение уравнения: x=

a= -1, то x=

a= 0, x=

-1≤a то x= arccosa+2πn, n .

При решении тригонометрических уравнений, сводящихся к простейшим, используется общий вид решения

tgx = a

x=arctga + πn, n .

При решении тригонометрических уравнений, сводящихся к простейшим, используется общий вид решения

Уравнения, в которых можно выполнить замену переменной

af²(x) + b f(x)+c= 0, где f(x) – некоторая тригонометрическая функция

Уравнение относительно f(x) может быть более высокой степени, чем вторая.

Функция

f(x) – может быть представлена выражением, содержащим тригонометрические функции.

Однородные тригонометрические уравнения.

a∙sin²x+bsinxcosx+ k∙cos²x= 0,

a,b,k – некоторые числа. Если a≠0, k≠0, то уравнение a∙sin²x+bsinxcosx+ k∙cos²x= 0 равносильно

уравнению

atg ²x +btgx +k =0, т.е. обе части уравнения делятся на cos²x

Однородное уравнение относительно sinx и cosx может быть первой степени или более высокой степени, чем вторая.

Если уравнение – неполное однородное, то деление на функцию в степени однородности может привести к потере корней.

Уравнение вида asinx+bcosx=c

Привести к виду sin(x +t) =

t = arctg b/a

Применяется в случае, если с≠ 0.

Следует привести к виду, когда a >0

Частные случаи

Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители левой части уравнения

Использовать условие равенства произведения нескольких множителей нулю

Если в правой части уравнения – ноль, а в левой – произведение тригонометрических функций, то на общей области определения функций уравнение равносильно совокупности уравнений: каждый множитель равен нулю

Полученные решения совокупности уравнений могут содержать

общие корни.

Уравнения, решаемые с помощью применения свойства ограниченности тригонометрических функций

f(x) , g(x)

Применяется к сумме

af(x)+ bg(x)= a+b, где f( x) и g(x) одна из тригонометрических функций sinkx или costx

В уравнении

g(x) может быть любой функцией.

Например,

Уравнение содержит

только выражение ( )

и функцию или

Решается с помощью замены:

( )

Замена применяется в случае, когда коэффициенты перед sinx и cosx – имеют равные модули.

Сделаем замену . Тогда:

Нет кор .

Тестовые задания: основные типы тригонометрических уранений(8)

Задание

Ответы

Решите уравнение

1. 2.Ø

Решите уравнениe

1. 2.Ø

Решите уравнение

1. 2.Ø

Решите уравнение

1. 2.Ø

Решите уравнение

2.Ø

Решите уравнение

1.Ø

Решите уравнение

Найдите все корни уравнения , принадлежащие промежутку

(-1;1)

3. .

4. .

5. .

Решите уравнение:

5. .-

Решите уравнение:

5.-

Решите уравнение:

1.-

4. /2 + n, nZ;

4. /3 + n, nZ;

1. Ø

5. /3 + n, nZ;

Решите уравнение:

5. /3 + n, nZ;

Решите уравнение: sinx - 2cosx = 0

3.arctg 2 + n, nZ.

5. /3 + n, nZ;

Решите уравнение:

4. ,/3 + n, nZ;

5.2n, nZ; /2+2n, nZ

Решите уравнение:

1 + 7 cos²x = 3 sin 2x

1.arctg4 + 2 k ,

arctg2 + 2 k, k

2. 2.

3. ;

5. /3 + n, nZ;

Тестовые задания: различные тригонометрические уравнения (9)

№	Задание	Ответы
1.	Решите уравнение:	1. 2. 3. 4. 5. /3 + n, nZ;
2.	Решите уравнение: tgx – 2ctgx + 1 = 0	1. 2. n, nZ; 3. + n, nZ; 4.  5. /2 + n, nZ;
3.	Решите уравнение: cos 2x = 1 + 4 cosx	1. 2. . 3. 4. 5. /4 + n, nZ;
4.	Решите уравнение: =	1.2n, nZ; 2. n, nZ; 3. + n, nZ; 4. 5. /2 + n, nZ;
5.	Решите уравнение	1. (π+2n;3/2 +2n) , nZ; 2. n, nZ; 3. + n, nZ; 4. (-π+2n;0+2n) , nZ; 5. /2 + n, nZ;
6.	Решите уравнение	1. . 2. 3. 4. 5.
7	Решите уравнение:	1.-/24+n/2,nZ /12+k,kZ. 2. 3. 4. 5.
8	Решите уравнение	1./2+2n, nZ 2. n, nZ; 3. + n, nZ; 4. (/2)n, nZ; 5. /2 + n, nZ;
9	Решите уравнение:	1./2+2n, nZ 2. n, nZ; 3. + n, nZ; 4. (/2)n, nZ; 5. /2 + n, nZ;
10	Решите уравнение:	1.n, nZ; 3/4+2n, nZ. 2.-/24+n/2,nZ /12+k,kZ 3. + n, nZ; 4. (/2)n, nZ; 5. /2 + n, nZ;
11	Решить уравнение:	1. -/4+n, nZ. 2.-/2+n/2,nZ 3. + n, nZ; 4.+4n, nZ. 5. /2 + n, nZ;
12	Решить уравнение: 5sin2x-sin6x+6=0	1.-/4+n, nZ. 2.-/2+n/2,nZ 3. + n, nZ; 4.+4n, nZ. 5. /2 + n, nZ;
13	Найдите корни уравнения	1. 2. 3. 4. . 5. .
14.	Найти корни уравнения (sinx + cosx)²= 1 – sinxcosx, принадлежащие отрезку [0; 2].	1. 2. ; 3. 2;  ; 4.0; 5. /2 ; 
15	Решите уравнение: sin2x – sinx = 2cosx – 1	1. 2 3. 4. . 5. .
16	Решите уравнение:	1. 2. 1;; 3. 2;  ; 4.0;1/ 5. .
17	Решите уравнение:	1. . 2 3. 4. . 5. .
18	Решите уравнение:	1. 2.-5/12. 3. 4. . 5. , -5/12.
19	Решите уравнение:	1. . 2.-/2+n/2,nZ 3. + n, nZ; 4.+4n, nZ. 5. /2 + n, nZ;
20	Наименьший целый корень уравнения равен	1.2; 2.5; 3.0; 4.-5 5. 6
21	Число корней уравнения равно	1.2; 2.5; 3.4; 4.3 5. 6
23	Наибольший целый корень уравнения	1.10; 2.12; 3.4; 4.5 5. 6
23	Решите уравнение:	1.0; 1. 2.0;-1. 3.0;1; + n, nZ; 4.1;+4n, nZ. 5. 0; /2 + n, nZ;
24	Решите уравнение: sin x sin 5x = 1	1. 2.-/2+n/2,nZ 3. + n, nZ; 4.+4n, nZ. 5. /4 + n, nZ;
25	Решите уравнение: sin¹⁰⁰⁰ x+cos⁵⁰⁰x=1	1.-/2+n/2,nZ 2. , nZ. 3. + n, nZ; 4.+4n, nZ. 5. /2 + n, nZ;
26	Решите уравнение: tg⁴x + tg⁴y + 2ctg²x ctg²y = 3 + sin²(x+y)	1. ( ; ); m + n = 2k. 2. , ,nZ. 3. + n, nZ; 4.+4n, nZ. 5. /2 + n, nZ;
27	Решите уравнение:x²+4x cos y +4 =0	1.(-2; 2n) nZ; (2;+ 2n), nZ; 2) (-2;n),(2; +) 3. (2;+ n), nZ; 4. (0,25;+4n), nZ. 5. (-1;/2 + n), nZ;
28	Решите уравнение: sinx=x²+x+1	1) n, nZ; 2) Æ; 3) 4)- ; 5) .
29	Решите уравнение sinx+cosx= +sin⁴x и в ответ запишите сумму корней уравнения  [-2p: 2p]	1) ; 2) - ; 3) . 4) 2; 5) -2;
30	Решите уравнение: x²-4x cos y +4 =0	1.(-2; 2n) nZ; (2;+ 2n), nZ; 2. (-2;n),(2; +n), nZ.. 3. (-2; 2n) nZ; (2;+ 2n), nZ; 4. (0,25;+4n), nZ. 5.(2;2n),(-2; +2n), nZ..
31	Решите уравнение: 4^sin x– 2^1+sin xcos xy +2^│y│=0	1.(πn;0) nZ; 2 (-2;n),(2; +n), nZ.. 3. (-2; 2n) nZ; (2;+ 2n), nZ; 4. (0,25;+4n), nZ. 5.(2;2n),(-2; +2n), nZ..
32	Решите уравнение: │1+ cos ( )│+│x²- 15x + 44 │= 15x- x²- cos ( ) - 45	1.9; 2.π; 3.4π; 4.5π; 5. 6.
33	Решите уравнение:	1. 2) Æ; 3) . 4)- ; 5)
34	Решите неравенство	1.[1; +∞). 2. ½ 3. 4. 5.1.
35	Сколько корней имеет уравнение ?	1.7; 2.8; 3.3; 4.9; 5.1
36	Решите уравнение:	1.[1; +∞). 2. ½ 3. 4. 5.1.
37	Решить неравенство:	1.[1; +∞). 2.( ½;4) 3. 4.(1;4]. 5.(1;4)
38	Решите уравнение: tg (5x + 1) + tg (x-6) = 0.	1) 2) Æ; 3) . 4)- ; 5) , где р
39	Решите уравнение:	1) 2) Æ; 3) . 4) - 5) , где р 4.
40	Решите уравнение:	1.x= 0,25. 2. 3. 4. 5.1
41	Решите уравнение:	1) 2) Æ; 3) . 4)- ; 5) , где р
42	Решите уравнение: 2cos πx=2x-1	1. 2. 3. 4.0,5; 5.-1.
43	Решите уравнение:	1. 2. 3. 4.0,5+πk; 5.-1.
44	Решите уравнение:	1. 2. 3. 4.0,5+πk; 5.-π.
45	Решите уравнение:	1. 2. 3. 4.0,5+πk; 5.-π..
46	Решите уравнение: cosx=x²+2x+2	1)-1 ; 2) Æ; 3) 4) ; 5)0.
47		1. 2) Æ; 3) 4) ; 5) .

Тема 4* Производная

Проверочный тест:

1.Найдите производную функции а) f(x) = 2x +5; б) f(x) = (3x -7)(4x+9);

в)f(x) = , г) f(x) =3x⁵.

2.Найдите f '(2), если а) f(x) = 8x +5; б) f(x) = (3x -7)(4x+9);

в)f(x) = ; г) f(x) =3x⁵.

3.Найдите f '(x), если а) f(x) = ; б) f(x) = ;

в)f(x) = (1-3x)⁴ ; г) f(x) = .

4.Найдите f '(x), если а) f(x) = sinx ;б) f(x) = cos2x ;

в)f(x) = tg3x; г) f(x) = ctg .

Ответы:

a) 2; б)24x-1; в) ; г)15x⁴.
a) 8; б) 47; в) ; г) 240.
a) ; б) ; в) -12(1-3x)³; г) .
a) cosx; б) -2sin2x; в) ; г) .

Улучшите свои знания

1.Производная суммы, произведения, частного, степени.

а)производная суммы двух функций (U и V) вычисляется по формуле

(U + V)' = U' + V',

в предположении, что производные слагаемых(U' и V') существуют.

Иначе: производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.

Замечания

1.1 Производная постоянной равна нулю: с'=0.

1.2 Производная от x равна 1: (x'=1).

1.3 Производная от kx+b равна k: ( kx+b) ' = k.

1.4 Постоянный множитель можно выносить за занак производной,

например, (2x)'=2(x)'=2

Пример, (2x+5)' = (2x) '+ 5' = 2+0 =2.

б)производная поизведения двух функций (U и V) вычисляется по формуле

(U ∙ V)' = U'V + V'U,

в предположении, что производные множителей (U' и V') существуют.

Например, ((3x -7)(4x+9))' = (3x-7)'(4x+9) +(3x-7)(4x+9)' =3(4x+9)+4(3x-7) =

12x+27 +12x-28 = 24x -1.

в)производная частного двух функций (U и V) вычисляется по формуле

в предположении, что производные U и Vсуществуют и V≠0.

Например,

в)производная степени x^α

(x^α)'=αx^α^-1.

Например, (5x⁸)'= 5(x⁸)' = 40x⁷.

2.Производная функции в точке

Чтобы вычислить производную функции в точке, надо:

1.Найти производную функции по правилам.

2. В найденную производную подставить данное значение аргумента.

Например:

Найдите f'(2), если f(x) =3 x⁵.

1. f'(x)=(3x⁵)'=15x⁴

2. f'(2)=15∙2⁴=240.

3.Производная сложной функции

Производная сложной функции f'(g(x)) равна производной промежуточной функци (y=g(x)), умноженной на производную функции (f'(y)).

f'(g(x)) = f'(y) g'(x).

Чтобы найти производную сложной функции, надо:

1.Определить функцию f(y);

2. Определить функцию y =g(x);

3. Найти f'(y) g'(x).

Замечание 3.1

f'(kx+b) =kf'(y), y=kx+в

Например:

Найдите ((1-3x)⁴)'

1.f(y) = y⁴

2.y=1-3x

3. 4(1-3x)³ (1-3x)' = -12(1-3x)³.

4.Производная тригонометрических функций

(sinx)'=cosx; (cosx)'= - sinx; tgx = ; ctgx= .

Например, sin'(4x+7)=4cos(4x+7).

Примеры

Найдите производную функции а) f(x) = (2x +5)⁴; б) f(x) = (3x² -7)(4x²+9);

в) f(x) = ; г) f(x) =3cos(2x-1); д) f(x) = .

Решение

а)Функция f(x) = (2x +5)⁴ сложная, вида f(kx+b). Найдем ее производную по замечанию 3.1:

((2x +5)⁴ )' = 2∙4(2x+5)³ =8(2x+5)³.

б) Найдем производную функции (3x² -7)(4x²+9) по правилу нахождения

производной произведения:

((3x² -7)(4x²+9))' = (3x²-7) '(4x²+9) + (4x²+9)'(3x²-7) =6x(4x²+9) +8x(3x²-7) =

=24x³ -2x.

в) Найдем производную функции по правилу нахождения

производной частного:

г) f'(x) =(3cos(2x-1))'= 3(cos(2x-1))', (постоянный множитель можно выносить за знак производной ), далее 3(cos(2x-1))' = -3∙2sin(2x-1),

( производная cosy = - siny и f'(kx+b) = kf'(y), поэтому возникает коэффициент 2). Окончательно имеем: f'(x) = -6sin(2x-1).

д) f'(x) = ( )' = ((6x-7)^0,5)' =0,5∙6( 6x -7)^0,5-1 =3(6x -1)^-0,5,

для нахождения этой производной выполнили следующее :

представили квадратный корень в виде степени с показателем 0.5;
применили формулу для отыскания производной степени ((у^t )'=ty^t^-1);
использовали замечание 3.1( появился множитель 6).

Наиболее часто встречающиеся ошибки

!Проверь, не делаешь ли ты так!

1.( 1-2x)'≠ 2, верно будет так: ( 1-2x)'=-2.

2. (x^-3)' ≠-3x^-2, правильно будет так: (x^-3) ' = -3x ^{– 4}.

3. sin' (3x-8) ≠ cos(3x-8), правильно будет так: sin'(3x-8) = -3cos(3x-8).

4. правильно будет так: = (x^-0,5)' = - 0,5x^-1,5=.

Контрольный тест

1.Найдите производную функции:

а) f(x) = 3 +4x³;

б) f(x) =

в) f(x) = tg(2x+1) – x;

г) f(x) =(-x³ -2)(1- x⁴).

2. Вычислите f'(x₀), если f(x) = (2x-8)⁵, x₀= 3;

3. Решите неравенство: f'(2) >x-5, если f(x) = sin(2x-4).

Тема5 Применение производной к решению задач

Проверочный тест:

Найдите промежутки монотонности функции y = x³-27x.
Найдите точки экстремума функции y = x³-27x.
Исследуйте функцию y = x³-3x² на монотонность и экстремумы.
Исследуйте функцию y = 0,75x⁴ – x³–3x² и постройте ее график.
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

f(x) = – 2x³–3x²+4 на промежутке [-2; -0,5]

Прямолинейное движение точки задано уравнением

s(t) = 2t² -8t -10 ( s в метрах, t в секундах)

Найдите скорость движения в момент времени, равный 8 с.

7. Найдите угол наклона к оси абсцисс касательной, проведенной к

графику функции у = x² в точке с абсциссой x₀= 0,5.

8. Составьте уравнение касательной, проведенной к графику функции

y = x³+1 в точке ( 1; 2).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025321.02 Кб0afp.doc
#
01.03.2025141.52 Кб1AFP.docx
#
01.04.2025261.12 Кб1Agenda practicii de initiere 2013.doc
#
17.11.201957.86 Кб19agreement with tr.doc
#
01.05.20253.17 Mб0aktivnost.doc
#
01.05.20256.1 Mб0Algebra_10-11_trenazher (2).doc
#
11.08.201945.06 Кб9Algoritm_PKKh.doc
#
22.04.2019103.42 Кб5AM.doc
#
17.04.201946.8 Кб6An alcoholic is a person who suffers from alcoh....docx
#
25.09.201939.14 Кб5Analiz_stilisticheskikh_osobennostey_ekz_textov...docx
#
02.08.201926.15 Кб5Analyse.docx