
- •Алгебра и начала анализа Тема 1 Тригонометрические функции Проверочный тест
- •Ответы:
- •Улучшите свои знания
- •Наиболее часто встречающиеся ошибки
- •Контрольный тест
- •Найдите:
- •Тема 2: Основные тригонометрические тождества Проверочный тест:
- •Найдите:
- •Ответы:
- •Улучшите свои знания
- •1.Тригонометрические функции одного и того же аргумента
- •2.Формулы сложения тригонометрических функций
- •Формулы приведения
- •4.A) Формулы двойного аргумента
- •Тангенс двойного аргумента:
- •1.Синус половинного аргумента: six
- •2.Косинус половинного аргумента: cos
- •3.Тангенс половинного аргумента:tg X
- •Наиболее часто встречающиеся ошибки
- •Контрольный тест
- •2.Простейшие тригонометрические уравнения
- •3.Виды тригонометрических уравнений:
- •2.Однородные тригонометрические уравнения.
- •5.Некоторые другие виды тригонометрических уравнений
- •6.Уравнения, решаемые с помощью применения свойств ограниченности тригонометрических функций
- •Наиболее часто встречающиеся ошибки
- •Контрольный тест
- •Свойства обратных тригонометрических функций в таблицах(5)
- •Ответы:
- •Улучшите свои знания
- •1. Применение производной к определению промежутков монотонности
- •Решить неравенсва
- •4.Записать ответ:
- •2.Применение производной для отыскания точек экстремума
- •Используя результаты исследования, построить график.
- •5. Применение производной для нахождения наибольшего и
- •5.Выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.
- •6.Применение производной для определения мгновенной скорости.
- •7.Применение производной к решению геометрических задач
- •8.Уравнение касательной к графику функции f(X) в точке (x0 ; f(x0))
- •1.Записать уравнение касательной к графику функции в точке f(X) в точке (x0 ; f(x0)):
- •4.Подставить найденные значения в уравнение пункта 1.
- •Наиболее часто встречающиеся ошибки
- •1.Арифметическим корнем n- ой степени из числа a называется неотрицательное число, n- ая степень которого равна a.
- •2.Корнем n- ой степени из числа a называется число, n- ая степень которого равна a.
- •3.Свойства корней n- ой степни
- •Основные тождества
- •Наиболее часто встречающиеся ошибки
- •Контрольный тест
- •Тема 8 Степень с рациональным показателем Проверочный тест:
- •Улучшите свои знания
- •Степенью положительного числа a с рациональным показателем , m – целое, n – натуральное называется корень n- ой степени из числа a в степени m n, т.Е. .
- •2.Вычислить значение степени с рациональным показателем можно, если степень с рациональным показателем заменить корнем.
- •3.Свойства степени с рациональным показателем и положительными основаниями :
- •4.Разложение на множители
- •Контрольный тест
- •Тема 9 Показательная функция Проверочный тест:
- •Улучшите свои знания
- •6.Показательные уравнения
- •7.Показательные неравенства
- •Контрольный тест
- •Тема10 Свойства логарифмов и логарифмическая функция Проверочный тест:
- •Улучшите свои знания
- •2. Основное логарифмическое тождество:
- •3. Свойства логарифмов
- •Контрольный тест
- •Дополнительные материалы
Тема 2: Основные тригонометрические тождества Проверочный тест:
Найдите:
sinx и tgx, если сosx =1/5, x [- π/2;0].
cosx, если tgx=2, x [ π; 3π/2].
а) Найдите sin(α+β), если sinα =3/5, а cosβ=⅓ , α [π/2; π], β [0; π/2],
б) Упростите:
.
а) Найдите: сos 210°; sin(-135°); tg (11π/6).
б)
Упростите:
.
а) Найдите sin2α; cos2α; tg2α, если tgα=5, α [0; π/2]
б)
Найдите sinx, cosx, tgx, если cos2x=
,
x
[π/2;
π].
Упростите:
Ответы:
1.
а) -
;
б)
;
2.а)
;
б) 1; 3. а) -
;
-
;
-
;
б)
;
4. а)
-
;
-
;
б)
;
-
;
-
;
5. -
.
Улучшите свои знания
1.Тригонометрические функции одного и того же аргумента
sin²x + cos²x =1
- сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же аргумента равна 1.
По этой формуле, зная значения синуса какого – нибудь угла (например, sinx =1/3), можно найти косинус этого же угла (cos²x =1- sin²x =1-(1/3)²=
=1-1/9=8/9, cosx=±2
.
Знак cosx зависит от того, в какой четверти
находится угол х.
Зная значения косинуса какого – нибудь угла, по этой формуле можно
найти синус этого же угла: найдем sinx, если сosx=1/5, x [- π/2;0];
sin²x=1-cos²х =24/25,
sinx=-2
,
так как при x
[-
π/2;0] sinx<0.
где x ≠ π/2+ πn, n – любое целое число; где x ≠ πn, n – любое целое число
ctg²x +1 = 1/ sin²x, x≠ πn, n – любое целое число.
По этой формуле, зная значения котангенса какого - нибудь угла (например, ctgx =4), можно найти синус этого же угла, т.е. sinx.
(sinx=
=
,
знак зависит от того, в какой четверти
находится угол х)
tg²x +1 = 1/ cos²x, x≠π/2+ πn, n – любое целое число.
По этой формуле, зная значения тангенса какого – нибудь угла (например,
tgx =5, x [π/2; π] ), можно найти косинус этого же угла, т.е. cosx.
(cosx = -
=
,
знак «- », так как при x
[π/2;
π] cosx<0)
tgx∙ctgx=1, x≠
, n – любое целое число.
Пример:
Найдите значения всех тригонометрических функции угла x, если
tgx =0.75, x [π; 3/2π]
Решение
Из формулы tgx∙ctgx=1 найдем ctgx=1/tgx =1:0.75 = 4/3.
Из формулы tg²x +1
= 1/ cos²x найдем cosx = -
, знак «- » , берется потому, что при
x
[π;
3/2π] cosx<0.
Из формулы
найдем sinx = cosx∙tgx =- 0.8∙0.75 = -0.6.
2.Формулы сложения тригонометрических функций
Синус суммы двух углов:
sin(x +y) =sinxcosy + sinycosx
Синус разности двух углов:
sin(x -y) =sinxcosy - sinycosx
Косинус суммы двух углов:
cos(x+y) = cosxcosy – sinx siny
Косинус разности двух углов:
cos(x-y) = cosxcosy + sinx siny
Тангенс суммы двух углов:
tg(x+y)
=
,
где
x+y≠ π/2+ πn, x≠π/2+πk, y≠π /2+πm, n,m,k – целые числа.
Тангенс разности двух углов:
tg(x-y)
=
,
где
x- y≠ π/2+ πn, x≠π/2+πk, y≠π /2+πm, n,m,k –целые числа.
Примеры:
а) Найдите cos(x+y), если sinx =3/5, а cosy=⅓ , x [π/2; π], y [0; π/2].
Решение
Запишем формулу cos(x+y) = cosx cosy – sinx siny. В правой части этой формулы значения cosx и siny не известны .Найдем их:
cosx = -
=
,
siny =
=
.
Подставим найденные
значения в формулу cos(x+y) = cosxcosy – sinx siny,
получим: cos(x+y)=
.
б) Упростите выражение: .
Решение
Замечаем, что в числителе представленной дроби записана правая часть формулы косинуса разности двух углов, т.е.
cos 110°cos40° +sin 110° sin 40° = cos(110° – 40°)= cos70°.
В знаменателе представленной дроби записана правая часть формулы синуса разности двух углов, т.е.
sin 35°cos15° – cos35°sin15°=sin(35° – 15°) = sin 20°. Тогда получим:
=
,
cos 70° = sin20°,т.к. 20° дополняет 70° до 90°.