Контрольный тест

№

Свойство, определение

Применение

Примечание

Пример

1

, где

Для вычисления значений логарифмов

Можно использовать для представления числа в виде логарифма по любому основанию

2= log₉ 81

2

Основное логарифмическое тождество

,

b>0, a>0, a≠1.

Для упрощения выражений

Можно использовать для представления любого положительного числа в виде степени с любым положительным основанием, отличным от 1

3= 5^log₅ ³

3

log_ab + log_ac = log_abc, где b>0, c>0, a>0, a≠ 1.

Для преобразований выражений, в уравнениях и неравенствах

При переходе от левой части равенства к правой область определения может расшириться.

log₂10= 1 + log₂5

4

log_ab - log_ac =

log_a (b: c), где b>0, c>0, a>0, a≠ 1.

Для преобразований выражений, в уравнениях и неравенствах

При переходе от левой части равенства к правой область определения может расшириться

lg 2=lg(10:5)

1 - g5

5

log_abⁿ =nlog_a b, где b>0, a>0, a≠ 1.

Для преобразований выражений, в уравнениях и неравенствах

При переходе от левой части равенства к правой область определения может сузиться

log₂(x-2)⁴ =

4log₂|x-2|

6

Формула перехода от одного основания логарифма к другому

log_ab= , где b>0, a>0, a≠ 1, с>0, c≠ 1.

Для преобразований выражений, в уравнениях и неравенствах

При решении уравнений и неравенств, как правило, следует прейти к одному и тому же основанию логарифма.

log₂9= .

7

Формула замены основания логарифма на его число

log_ab = , b>0,

b ≠1,a>0, a≠ 1,

Для преобразований выражений, в уравнениях и неравенствах

Можно использовать неравенство |log_ab+ |≥2, b>0, a>0, a≠ 1,

log₂9= .

8

log_a^rx= log _a x, x>0, a>0, a .

Для вычислений и преобразований выражений

Для перехода к меньшему основанию логарифма

log ₄x= 1/2log ₂ x,

9

log_a^rx^r=log _a x, x>0, a>0, a .

Для перехода к другому основанию логарифма, вычислений и преобразваний

При переходе от одной части равенства к другой область определения может измениться

10

c^log_a^b = b^log_a^c, a>0, a , b>0, c>0, b , c .

Для перехода к одному основанию логарифма, при вычислениях, преобразованиях, в решениях уравнений и неравенств

Если равенство

содержит переменные, то учесть область определения

=7

11

, a>0, a , b>0, b .

Для перехода к одному основанию логарифма при вычислениях, преобразованиях, в решениях уравнений и неравенств

Если равенство

содержит переменные, то следует учесть область определения

12

log_ab ²ⁿ =2nlog_a |b|, где b>0, a>0, a≠ 1.

Для преобразований выражений, в уравнениях и неравенствах

Если равенство

содержит переменные, то следует учесть область определения

log₄ (x-2) ² =2log₄ |x-2|

13

(log_ab >0) ((a-1)(b-1)>0), a>0, a , b>0.

При решении неравенств

Учитывать область определения

(log_x (x+4) >0)

((x-1)(x+3)>0), x>0, x , x+4>0.

14

(log_ab <0) ((a-1)(b-1)<0), a>0, a , b>0.

При решении неравенств

Учитывать область определения

(log_x (x+4) <0)

((x-1)(x+3)<0), x>0, x , x+4>0.

15

log_ab - log_ac <0) ((a-1)(b-c)<0), a>0, a , b>0, c >0

При решении неравенств

Учитывать область определения

16

log_ab - log_ac >0) ((a-1)(b-c)>0), a>0, a , b>0, c >0

При решении неравенств

Учитывать область определения

17

log_aa = 1, a>0, a ,

При решении уравнений, неравенств

Учитывать область определения

,

18

log_a1 = 0, a>0, a ,

При решении уравнений, неравенств

log₅1 = 0,

log₃1 = 0

19

log_aa ⁿ =n a>0, a ,

При решении уравнений, неравенств

log₅5 ⁴ =4

№

Задание

Результат

1

Расположите в порядке возрастания значения выражений:

a)-1; b) 2 ; c) ½; d)0; e) -2; f)3

e),a), d),c),b), f).

2

Представьте число 3 в виде логарифма по основанию

a) 3; b) 2 ; c) ½; d) 10; e)1/3; f)a

a)3= log ₃ 27; b) 3= log ₂ 9; c) 3= log _1/21/8; d) 3= lg1000; e) 3= log _1/31/27; f) 3= log _a a³

3

Представьте в виде степени:

a) с основанием 5 число 2;

b) с основанием 6 число 7;

c)с основанием 4 число 9;

d) с основанием 7 число 15

e) с основанием 10 число 2;

f) с основанием 1/2 число 6;

a)

b)

c) 9 = 4^log₄ ⁹;

d) 15 = 7^log₇ ¹⁵;

e) 2= ;

f) 6=

4

Найдите значение выражения

1) ; 2) 25;

3) 6;

4) -5/4;

5) 4;

5

1) ; 2) 25;3) 6;

4) -5/4;5) 4;

6

;

1) ; 2) 25; 3) 6;

4) -5/4;5) 4;

7

;

1) ; 2) 25;3) 6;

4) -5/4;5) 4;

8

1) ; 2) 25; 3) 6;

4) -5/4; 5) 4;

9

;

1) ; 2) 2;3) 6;

4) -5 ;5) 1;

10

;

1) ; 2) 2;3) 6;

4) -5; 5) 1;

11

.

1) ; 2) 2;3) 6;

4) -5; 5) 1;

12

;

1)0; 2) 2;3) 6;

4) -5; 5) 1;

13

;

1)0; 2) 2;3) 6;

4) -5; 5) 1;

14

1)9; 2) 2;3) 6;

4) -5; 5) 1;

15

Пусть Выражение log₆ 2

равно:

1)a/(a-1); 2) 1-a;

3) (1-a)/(2a);

4) 3(1+a); 5)- 1;

16

Найдите

1)a-2b-2/(a-1); 2) 1-a;

3) (1-a)/(2a);

4) 3(1+a); 5)- 1;

17

Найдите

1)a-2b-2/(a-1); 2) 1-a;

3) (1+a)/(2a+b);

4) 3(1+a); 5)- 1;

18

Пусть

Найдите: log ₃₀₀ 75

1)(a+2ab)/(2+a+2ab);

2) 1-a;

3) (1+a)/(2a+b);

4) 3(1+a); 5)- 1;

19

Пусть

Найдите:

1)(a+2ab)/(2+a+2ab);

2) 1-a;

3) (1+a+ab)/(2+a+ab);

4) 3(1+a); 5)- 1;

20

Известно, что . Вычислите

1)(1-

2) 1;

3) (2+

4) 3(1+ ); 5) ;

21

Известно, что . Вычислите

1)

2) 1- ;

3) 1;

4) 3(1+- );5) ;

22

Определите верные неравенства

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

1.b,d,g.

2.a,b,f;

3.f,g,h;

4d,e,h;

5.a,f,h

23

Значение выражения равно:

1) 0; 2) 1

3) ; 4) ;

5) -1

24

Пусть Какое из следующих выражений равно 3(1+a)?

1.b.

2. f;

3. h;

4d;

5.a.

25

Пусть Выражение равно

1)a/(a-1); 2) 1-a;

3) (1-a)/(2a);

4) 3(1+a); 5)- 1;

26

Результат упрощения выражения равен

1) 2 ; 2) log₂x ; 3) 0; 4) ; 5) другой ответ

Свойства функция

y = lоg_a x , a >1

y = lоg_a x , 0 <a < 1

Область определения (D)

D(lоg_a x) =(0;+ ∞)

D(lоg_a x) =(0;+ ∞)

Множество значений (E)

E(lоg_a x) =(- ∞;+ ∞)

E(lоg_a x) =(- ∞;+ ∞)

Нули функции

lоg_a x =0 x=1

lоg_a x =0 x=1

Знаки функции

log_ax > 0 при x>1

log_ax < 0 при 0<x<1.

log_ax<0 при x >1

log_ax >0 при 0<x<1.

Промежутки возрастания

y = lоg_a x при a>1 возрастает на всей области определения.

Промежутки убывания

y = lоg_a x при 0<a<1убывает на всей области определения.

Графики

№

Задание

Ответ

1

Найдите область определения функции

y=log₃ (5 + 4x - x² )

1.(-1;5);

2. [-1;5);

3. [-1;5];

4.(-∞;-1) (5;+∞)

5. .(-∞;-1] [5;+∞)

2

Найдите область определения функции

y= log_x+1 (2-x)

1.(-1;2);

2. [-1;0);

3. [-1;2];

4.(-1;0) (0;2)

5. .(-∞;-1] [2;+∞)

3

Найдите множество значений функции

y=log₃ (5 + 4x - x² )

1.(-1;2);

2. [-1;0);

3. [-1;2];

4.(-1;0) (0;2)

5. (-∞;2]

4

Наибольшее значение функции

y=log₃ (2+ 2x - x² )

1)0;2)4;3)2;4)1; 5)1/9.

5

Наименьшее значение функции

y=log_0,5 (3+ 2x - x² )

1)0;2)4;3)-2;4)1; 5)1/4.

6

Больше единицы значение функции при x, равном:

1)64;2)4;3)2;4)1; 5)1/16.

5

Больше единицы значение функции при x, равном:

1)64;2)4;3)2;4)1; 5)1/16.

6

Только неотрицательные значения принимает функция:

1.y=log_1/3 (5 + 4x - x² );

2. y=log₃ (5 + 4x + x² );

3. y=log₃ (3 + 4x -x² );

4. y=log_1/3 (3 + 4x -x² );

5. y=log_1/2 (3 + 4x -x² ).

7.

Решите уравннеие

1)0;2)4;3)3;4)1; 5)1/9.

8.

Решите уравннеие

1)0;2)4;3)3;4)1; 5)1/9.

9.

Решите уравннеие

1)2;2)4;3)3;4)1; 5)1/9.

10

Решите неравенство

1. (1;7) (7;+∞);

2. [1;7);

3. [1;2];

4.(1;7) (7;79)

5. .(-∞;-1] [7;+∞)

11

Решите неравенство

1)0;2)4;3)-2;4)-1; 5)1/9.

12

Решите уравннеие

1)0;2)π;3)3 π;4)1; 5)3.

13

Решите уравннеие

1)0;2)π;3)3 π;4)1; 5)3.

14

Решите уравннеие

1)0;2)π;3)4 ;4)1; 5)3

15

Решите уравннеие

1)0;2)π;3)3 π;4)1; 5)3.

16

Решите уравннеие

1)0;2)π;3)3 π;4)1; 5)3.

17

Решите уравннеие

1)0;2)2;3)3 π;4)1; 5)3.

18

Корень уравнения принадлежит промежутку

1) (-3;1] ; 2) [-1;2 ); 3) (-10;0]; 4 ) (-10;3]; 5) [0;3 )

19

Наименьший корень уравнения

равен

1) -2; 2) -0,5;

3) π/2; 4) 8; 5) другой ответ

20

Наименьшее неотрицательное число из области определения функции

y =

1).1 ;2) π; 3) 2; 4) 2π; 5) 0.

№

Вид уравнения, неравенства

Метод решения

Применение

Примечание

1

log_a f(x)=

log_a g(x)

а>0, а≠1

log_a f(x)=

log_a g(x)

, где а>0, а≠1, g(x) > 0, f(x) > 0.

Применяется для любого положительного основания, отличного от 1.

При решении уравнения могу появиться посторонние корни, поэтому следует сделать проверку решений.

2

log_a f(x)=

= b где а>0, а≠1

log_a f(x)=

= b f(x)=a ^b

Применяется для любого положительного основания, отличного от 1.

3

A log_a ² f(x)

+B log_a f(x)=

+C=0 ,

A≠0.

С помощью подстановки

y= log_a f(x) сводится к квадратному уравнению Ay²+By+C=0.

Применяется для уравнений, содержащих log_a ² f(x) и

log_a f(x) или log_a f(x) и log_a ^-1 f(x) .

Подстановка может быть применена к уравнению p(x)= log_a f(x)

4

Уравнения, решаемые функциональным методом

f(x)= g(x)

Если f(x) возрастает, а g(x) не возрастает на их общей области определения, то уравнение

f(x)= g(x) имеет не более одного корня.

Так как — возрастающая функция (основание больше единицы) и — убывающая, то уравнение может иметь не более одного корня. Методом подбора его легко найти .

5

Уравнения, решаемые методом логарифмирования

Переменная величина под знаком логарифма и в основании степени

При условии, что обе части уравнения положительны, обе части уравнения можно логарифмировать

Область определения:

и при значит, логарифмируем по основанию 3.

6.

log_a f(x)>

>log_a g(x),

а>0, а≠1;

log_a f(x)<

<log_a g(x)

а>0, а≠1

Применить замену данного выражения на знакосовпадающее с ним

Применяется для решения неравенств, содержащих переменную в основании

7.

A log_a ² f(x)

+B log_a f(x)

+C >0 ,

A≠0.

A log_a ² f(x)

+B log_a f(x)

+C <0 ,

A≠0.

С помощью подстановки

y= log_a f(x) сводится к квадратному неравенству

Ay²+By+C>0.

( Ay²+By+C<0)

Применяется для неравенств содержащих log_a ² f(x) и

log_a f(x) или log_a f(x) и log_a ^-1 f(x) .

log₇² x + log₇ x < 6;

Обозначим log₇ x через t, log₇ x =t, тогда неравенство примет вид

t² + t<6; откуда -3<t<2.

Учитывая то, что log₇ x =t, получим неравенство -3<log₇ x<2,

1/343<x <49. Решением данного неравенства служит промежуток (1/343;49)

№

Задание

Ответы

1

Решите уравнение

1) ; 2)2; 3); 4)0; 5) .

2

Решите уравнение

1) ; 2)2; 3); 4)0; 5) .

3

Решите уравнение

1) ; 2)2; 3); 4)-5; 5) .

4

Число корней уравнения

1)5; 2)2; 3)7; 4)0; 5)6 .

5

Число корней уравнения

равно

1)3; 2)2; 3)7; 4)0; 5)6 .

6

Число корней уравнения

1)5; 2)2; 3)7; 4)0; 5)6 .

7

Решите уравнение

1.-0,5; 2,5;

2)2;3; 3)-7;1;

4)0;0,5

5)-2;2,5 .

9

Решите уравнение

1)3; 2)2; 3)7; 4)0,5 5)6 .

9

Решите уравнение

1.-3,25; 1,25; 2)2;3; 3)-7;1;

4)0;0,5

5)-2;2,5 .

10

Решите уравнение

1)3; 2)2; 3)7; 4)0,5 5)6 .

11

Решите уравнение

1)3; 2)2; 3)0; 4)0,5 5)6 .

12

Число корней уравнения

1)3; 2)2; 3)1; 4)0; 5)4 .

13

Решите уравнение

1)10; 2)2; 3)1; 4)100; 5)0,1

14

Число корней уравнения

1)3; 2)2; 3)1; 4)2; 5)0

15

Решите уравнение

1. 9; 2. 3; 3)0; 1 4)0,09;3 5)9 .

16

Число корней уравнения

1)3; 2)2; 3)1; 4)4;5)0.

17

Число корней уравнения

1)3; 2)2; 3)1; 4)0; 5)4 .

18

Число целых рашений неравенства:

1)3; 2)2; 3)1; 4)0; 5)4 .

19

Наибольшее целое решение неравенства:

1)10; 2)2; 3)100; 4)99;

5) 1000

20

Число целых решений неравенства

1)3; 2)2; 3)1; 4)4;5)0.

№

Задание

Ответы

1

Решите уравнение

log_1/3(3+│sin x │) =2^│x│-2

1)π; 2)2π; 3) π +2πn,n Z; 4)0; 5) πn,n Z.

2

Решите уравнение

log²₂x + (x-1) log₂x = 6-2x

1)0,25; 2;

2)1 ; 1;

3) 2; 1;

4) 2; 2;

5)0,25;1.

3

Решите уравнение

log²₂ (x+y) – 2sinx log₂ (x+y) +1+

│y-1│=0

1)1; 2;

2)1 ; 1;

3) 2; 1;

4) 2; 2;

5)0,25;1.

4

Решите уравнение

3^{sin x} =

1)- , n Z;

2)2π; π;3) π +2πn, π +2πn, n Z; 4)0; 0;5) πn,πn,n Z.

5

Решите уравнение: log₂ (4x+1) log₅ (4x+4)+

+log₃ (4x+2) log₄ (4x+3) = 2 log₃ (4x+2) log₅ (4x+4)

1)¼.

2)1 ;

3) 2;

4) 2;

5)0,25;

6

Решите неравенство:

1.(1;7)

2)(1 ; +∞)

3) (7 ; +∞)

4) [1 ; +∞);

5) [7 ; +∞)

7.

Определите количество решений уравнения :

1.4;

2.3;

3.5;

4.9;

5.1.

8

Решить неравенство:

1. ;

2. ;

3.[ 0;3] (4;5);

4. ;

5.

9

Решить неравенство:

1. ;

2. ;

3.[0;3] (4;5);

4. ;

5.

10

Решите неравенство:

1. ;

2. ;

3.[ 0;3] (4;5);

4. ;

5.

11

Решите неравенство:

1.[1;3]

2. ;

3.[ 0;3] (4;5);

4. ;

5.

12

Решите неравенство: .

13

Решите неравенство:

1. ;

2. ;

3.[ 0;3] (4;5);

4. ;

5.

14

Решите неравенство:

15

Решите неравенство:

1.

2. ;

3.[0;3] (4;5);

4. ;

5.

16

Решите неравенство:

1. ;

2. ;

3.[0;3] (4;5);

4. ;

5.

17

Найдите сумму целых решений неравенства

на промежутке [-3;3]

1.4;

2.3;

3.5;

4.9;

5.1.

18

Решите неравенство:

1) ;

2. ;

3. ;

4.

5.

19

Решите неравенство:

1) ;

2. ;

3. ;

4. ;

5.

20

Решите неравенство:

1) ;

2. ;

3) ;

4. ;

5.

21

Решите неравенство:

1) ;

2. ;

3) ;

4. ;

5.

22

Решите неравенство:

1) ;

2. ;

3) ;

4. ;

5.

23

Решите неравенство:

1.

2. ;

3) ;

4. ;

5.

24

Определите число целых решений неравенства log_2+x (6-│x│) ≥ 0

1) 6;

2.3;

3.5;

4.9;

5.1.

25

Решите уравнение

1.8, π/2; 5π/2.

2. 4, 5π/2.

3. π/2; 5π/2.

4. 5π/2.

5. 2, π/2.

26

Решите уравнение:

log₉(37-12x)·log_7-2x3 = 1.

1.1;

2.3;

3.5;

4.2;

5.-1.

27

lg sinx + lg cosx < 0

1.(2πn;π/2+2πn), n

2. (4; 5π/)

3. (π/2; 5π/2).

4. 5π/2.

5.(1;π/2).

Данное выражение

Выражение, совпадающее по знаку с данным

Дополнительные условия

, , ,

,

, ,

,

—

—

—

Название формулы

Вид формулы

Применение

Разность квадратов

a² - b ² = (a-b)(a+b)

Для разложения выражения на множители.

Квадрат разности

(a - b) ² = a ² -2ab + b ²

В тождественных преобразованиях.

Квадрат суммы

(a + b) ² = a ² +2ab + b ²

В тождественных преобразованиях.

Куб разности

(a - b) ³ = a ³ -3a ²b +3a b ² –b³

В тождественных преобразованиях.

Куб суммы

(a + b) ³ =

a ³ +3a ²b +3a b ² +b³

В тождественных преобразованиях.

Разность кубов

a³ - b ³ = (a-b)(a ² +ab+b ²)

Для разложения выражения на множители.

Сумма кубов

a³ + b ³ = (a+b)(a ² -ab+b ²)

Для разложения выражения на множители.

Квадрат суммы трех выражений

(а + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab +2ac +2bc.

В тождественных преобразованиях многочленов.

Куб суммы трех выражений

(а + b + c)³ = a³ + b³ + c³+ 3a²b +3ab² +3a²c +3ac² +3c²b +3cb² +6abc.

В тождественных преобразованиях.

Разность n- ых степеней

аⁿ - bⁿ = (a-b)(a^n-1+ a^n-2b+…+ ab^n-2 +b^n-1), .

В тождественных преобразованиях.

Сумма n- ых степеней

аⁿ + bⁿ = (a + b)(a^n-1- a^n-2b +…+ ab^n-2 - b^n-1), , n- нечетное число.

В тождественных преобразованиях.

Формула корней квадратного уравнения

Если

Для решения квадратных уравнений относительно функции f(x)

Формула корней квадратного уравнения

с четным вторым коэффициентом

- четное число.

Если

При решении квадратных уравнений со вторым четным коэффициентом

Сумма n первых натуральных чисел

1 +2 +3+…+ n = n(n+1)/2;

В тождественных преобразованиях

Сумма квадратов n первых натуральных чисел

1² +2² +3²+…+ n² = n(n+1)(2n+1)/6;

В тождественных преобразованиях

Сумма кубов n первых натуральных чисел

1³ +2³ +3³+…+ n³=

( n(n+1)/ 2)²;

В тождественных преобразованиях

Формула n- ого члена арифметической прогрессии

Для вычисления n- ого члена прогрессии, номера члена, разности прогрессии

Формула n- ого члена геометрической прогрессии

Для вычисления n- ого члена прогрессии, номера члена, знаменателя прогрессии

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

S_n = .

Для вычисления суммы n членов прогрессии можно использовать формулу

Формула суммы n первых членов геометричской прогрессии

Для вычисления суммы n членов прогрессии можно использовать формулу

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Для того чтобы числовая последовательность была арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы каждый ее член, начиная со второго, был равен среднему арифметическому соседних с ним членов.

, применяется для вычиления члена прогрессии по двум соседним, для доказательства того, что данная последовательность является арифметической прогрессией и пр.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Для того чтобы числовая последовательность была геометрической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы каждый ее член, начиная со второго, был равен среднему геометрическому соседних с ним членов.

, применяется для вычиления члена прогрессии по двум соседним, для доказательства того, что данная последовательность является геометрической прогрессией и пр.

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

S = , -1 <q <1.

Для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, для представления бесконечной десятичной дроби в виде обыкновенной.