Основные тождества

№

Свойство

Применение

Примечание

Пример

1

, n- натуральное, большее единицы.

Вычисление значений выражений,

решениe иррациональных уравнений

Если n – нечетное, больше 1, то a может принимать отрицательные значения.

2

,

m и к , целые, к >0, n- натуральное, большее единицы.

В тождественных преобразованиях, при вычислении значений выражений.

Если m и n нечетные , то может произойти сужение области определения выражений при переходе от левой части равенства к правой.

3

a ≥0; b≥0.

В тождественных преобразованиях, при вычислении значений выражений.

При a<0 и b<0, справедливо ,где n- натуральное число.

4

a ≥0; b>0.

В тождественных преобразованиях, при вычислении значениий выражений.

При a<0 и b<0, справедливо ,где n- натуральное число

5

для любых натуральных m и к, неотрицательного числа a.

В тождественных преобразованиях, при вычислении значениий выражений.

Для нечетных показателей степени и корня число a может быть отрицательным

6

, для любых натуральных n и к, неотрицательного числа a.

В тождественных преобразованиях, при вычислении значениий выражений.

Показатели корня могу быть только натуральными числами

Ø

7

Для любого действительного числа a и для n – четного верно равенство:

В тождественных преобразованиях, при решении уравнений и неравенств.

Если показатель степени – нечетное число, то верно равенство .

8

Для любого неотрицательного числа a и натурального n верно равенство:

В тождественных преобразованиях, при решении уравнений и неравенств.

Если показатель степени – нечетное число, то верно равенство , при любом действительном a.

,

9

В тождественных преобразованиях, при решении уравнений и неравенств

Целесообразно применять, если a² –b есть полный квадрат

№

Задания

Ответы

1

Вычислите значение выражения

а) 4; б) 8; в) 1; г) 2 .

2

Вычислите значение выражения

а) 5; б) ; в) 25; г)

3

Упростите выражение

а) 5a⁵; б) 2|a|⁵ + 3a ⁵ ; в) 2|a|⁵ - 3a ⁵ ; г) a ⁵ .

4

Результат упрощения выражения:

а) ; б) 4; в)1; г)2;

5

а))8; б) 4; в)1; г) 0,5;

6

Результат упрощения выражения

; б) ; в) 1; г) 2 .

7

Результат упрощения выражения

равен

а) + ; б) + ; в) 2; г) 2 .

8

Равенство верно при:

а) x = 2; б) x = 0;

в) x = -3; г) x = 3,5

9

Равенство верно при:

а) х = -111; б) х = -1; в) х = 0; г) х = 25.

а) х = -111; б) х = -1; в) х = 0; г) х = 25.

10

Равенство верно при:

а) x = -2; б) x = 5,2;

в) x = 0, 2; г) x = 1,44;

11

Если , то значение выражения равно:

а) 0,4; б) 5,2; в) - 4; г) 2,5

12

Значение выражения равно

13

Значение выражения равно

1) ;2)0

2) 1; 3) 6 ; 5)

14

Если a >2, то результат упрощения выражения равен

1)

4

15

Вычислите

1)4 ; 2)22;

3)-22; 4) -4 ; 5)0.

16

Результат упрощения выражения

1)4с^-2 d⁸; 2) 4d⁸;

3) с^-2 d⁸; 4) с^-2 d⁸;

5) с² d ⁴;.

17

Значение числового выражения равно

1)8 -20; 2)20;

3)-40; 4) -4 ; 5)0.

18

Значение выражения равно

1) ;2)0;

3) ; 4)2 ;

5)-

19

Значение выражения равно

1) ;2)0;

3) ; 4)2 ;

5)

20

Значение выражения равно

1) ;2)0;

3) ; 4)- ;

5)

21

Если , то значение выражения равно

1)1/3;2)2/3; 3)-2/3; 4)1/6; 5)5/6.

22

Результат упрощения выражения равен

1) ;2)0;

3) ; 4) ;

5)

23

Результат упрощения выражения равен

1) ;2)0;

3) ; 4)3 ;

5)

24

Если 1≤x≤2, то значение выражения равно

1) ;2)0;

3) ; 4)5 ;

5)2.

25

Результат упрощения выражения равен

1)4 ; 2)14;

3)4; 4) -4; 5)0.

26

Результат упрощения выражения

равен

1) ;2)0;

3) ; 4) +5;

5) +5

27

Результат упрощения выражения

равен

1)4 ; 2)14;

3)4; 4) ; 5)0.

28

Результат упрощения выражения равен :

1) ; 2) ; 3) 2,125; 4) 2; 5.

29

Результат упрощения выражения равен

1) ; 2) ; 3) 2; 4) ; 5.1.

30

Результат упрощения выражения

равен

1) ; 2) ; 3) 2; 4) ; 5. .

31

Результат упрощения выражения

равен

1) ; 2) ; 3) 2 ; 4) ; 5. .

32

Результат упрощения выражения

равен

1) ; 2) ; 3) 2 ; 4) ; 5.3+ .

33

Упростите выражение

при b > a/2

1)2b; 2) ;

3) ab 4)2b+a; 5. b .

34

Упростите выражение при b>0

1)2b; 2) ;

3) ab 4)2b+a; 5. b .

35

Упростите выражение

1) ; 2) ; 3) 2; 4) ; 5. .

36

Упростите выражение

1) ; 2)3; 3) 2; 4) ; 5. .

37

Результат упрощения выражения

1)2b;

2) ;

3) ab;

4)2ax;

5. .

38

Результат упрощения выражения

равен

1)2b;

2) ;

3) ab;

4)2ax;

5. .

39

Результат упрощения выражения

равен

1.

2. ;

3. ab;

4.2ax;

5. .

40

Результат упрощения выражения

равен

1.

2. ;

3. ;

4.3;

5. .

Функции

Свойства

функции

, n – четное

, n – нечетное

Область определения (D)

[0; +∞)

(-∞; +∞)

Множество значений(E)

[0; +∞)

( -∞; +∞)

Четность или нечетность функции

Нечетная

Знаки функции

Функция неотрицательна на всей области определения

>0, если ;

<0, если

Нули функции

x= 0

x=0.

Промежутки возрастания

Функция возрастает на всей области определения

Функция возрастает на всей области определения

Промежутки убывания

-

-

Наибольшее значение

Не существует

Не существует

Наименьшее значение

y = 0 при x =0

Не существует

Графики

№

Задание

Ответ

1

Графику функции y = принадлежит точка:

a)(9; 3); b) (16;4)

c) (9; -3) ; d) (16;-4).

2

Значение функции y =

при значении аргумента x = - 4 +9

равно:

a) - 2 +3 ;

b) 2 - 3; c) - 2;

d) 2 - ;

3

Множество значений функции

y = 2 +5 равно:

a) (0; + ∞); b) [0; + ∞);

c) [5; + ∞); d) (0; 5);

e) (5; + ∞);

4

В облаcть определения функции

y = входят значения аргумента, равные:

а) ;

b) ; c) ;

d)

e)

5

Множество значений функции

y = - 2 +5 равно:

а) (- ∞; 5]; b) (-∞;0); c) [5; + ∞); d) (-5; 0); e) (- ∞; 5);

6

Возрастающей на множестве всех действительных чисел является функция:

7

Убывающей на множестве всех действительных чисел является функция:

8

Верным для всех действительных значений переменной x является неравенство:

9

Верным для всех действительных значений переменной x является неравенство:

10

Верным для всех значений x из области определения функции f(x) является неравенство f( x+3)>f(x), если:

11

В облаcть определения функции

y = входят значения аргумента, равные:

а) ;

b) ; c) ;

d)arcsin(-1/3); e) cos(-2).

12

Найдите область определения функции

а) (- ∞; -5]; b) (-∞;0);

c) [-5; + ∞); d) (-5; -3);

e) [-5; -3];

13

Верным является неравенство:

14

Найдите область определения функции

а) (- ∞; -5]; b) (-∞;-3);

c) [-5; + ∞); d) (-5; -3);

e) [(∞; -3];

15

Найдите область определения функции

а) (- ∞; -5] ; b) (-∞;-3);

c) [-5; + ∞); d) (-5; -3);

e) (-∞; -3] ;

16

Функция является возрастающей на области определения:

a);d)

17

Найдите область определения функции

а) (- ∞; 0) ; b) (-∞;-3);

c) [0;5) (5; + ∞); d) (-5; -3);

e) (-∞; -3] ;

18

Найдите область определения функции

а) (- ∞; -5]; b) (-∞;-3);

c) [-5; + ∞); d) [3; 5];

e) (-∞; -3];

19

Найдите область определения функции

а) (- ∞; -5]; b) (-∞;-3);

c) [-5; + ∞); d) [3; 5];

e) [-3;1];

20

Найдите множество значений функции

а)(0;4]; b) (1;2);

c) [1; 2); d) [0; 2];

e) [0;1];

№

Вид уравнения

( неравенста)

Метод решения

Применение

Примечение

1

Если a≥0, то x =a²ⁿ;

если a < 0, то решений нет.

2

x= a²ⁿ⁺¹

3

Уравнение вида равносильно системе

.

Уравнение этого вида можно решить, возводя обе части уравнения в степень 2n и последующей проверкой корней подстановкой в данное уравнение 5-x² = (1-x)^{2 .}

Проверка: x=-1, равенство верное, значит x=2 – корень данного уравнения.

x=2, равенство неверное, значит x=2 – не корень данного уравнения.

4

Уравнение вида равносильно системе

.

Уравнение этого вида можно решить, возводя обе части уравнения в степень 2n и последующей проверкой корней подстановкой в данное уравнение

5

Уравнение вида

Равносильно совокупности

x=1

Можно использовать условие равенства нулю произведения нескольких мноожителей

6

1.Можно возвести обе части уравнения в квадрат дважды с последующей проверкой.

2.Можно обе части уравнения умножить

на выражение, сопряженное левой части.

1. . Проверка:

, значит , x = 4 не корень данного уравнения. , значит , x = 284 корень данного уравнения.

2.

Можно применить свойства функций.

Пример: Решить уравнение

.

,

функция y = - возрастает на области определения, а функция

y= 4+ убывает на области определения. Следовательно, если данное уравнение имеет корень, то только один.

Легко угадывается корень x= 3.

7

Можно возвести обе части уравнения в квадрат дважды с последующей проверкой найденых корней

2

Проверка:

Значит, значение x =7 является корнем уравнения.

Можно использовать свойства функций:

заметим, что функция y =2 возрастает на всей области определения, поэтому, если данное уравнение имеет корень, то только один.

Найдем его среди целых чисел, не больших 7. Как раз 7 – подходит, по теореме о единственности корня – 7 – единственный корень данного уравнения.

8

Если f(x) + g(x)=m, то можно сделать замену:

Если f(x) и g(x) , одномонотонные, то уравнение имеет только один корень, который можно подобрать.

Например,

.

Функция y= возрастает на множестве всех действительных чисел, следовательно, уравнение

имеет не более одного корня. Легко определяется,что x= 6

9

При a>0 неравенство равносильно

неравенству

0≤x<a²ⁿ

Неравенство со знаком «больше» справедливо при всех a<0. При a≥0 решениями будут

x≥a ²ⁿ

10

Неравенство вида

равносильно следующей совокупности неравенств:

x (-∞; 1)

Неравенства такого вида можно решать графически,

. Для этого построим графики функций

f(x) = , и g(x) = x .

Решениями неравенства будут те значения x, для которых первый график расположен выше второго, т.е. x .

11

Неравенство вида

равносильно системе

неравенств

Неравенство можно решить с помощью графиков функций и y=x.

12

Если a≥0, то

При a≤0, неравенство справедливо для всех x из области определения функции f(x)

13

Можно использовать замену данного выражения на знакосовпадающее с ним

14

Если a≥0, то

При a<0, неравенство

не имеет решения

15

Можно использовать замену данного выражения на знакосовпадающее с ним.

16

Можно решить методом интервалов.

>4.

Найдем нули функции

y = , т.е. решим уравнение =4.

Получим x =3. Эта точка разбивает область определения функции y = , на два промежутка, определим знак функции в каждом из них, получим ответ (3; +∞)

Если f(x) и g(x) , одномонотонные, то можно использовать свойства функций:

заметим, что функция y = возрастает на всей области определения, а при x=3 принимает значение, равное 4, следовательно, для x>3 неравенство будет верным.

17

Можно решить методом интервалов.

< 4,

найдем нули функции

y = , т.е. решим уравнение = 4

Получим x =12. Эта точка разбивает область определения функции y = , на два промежутка. Определим знак функции в каждом из них, получим ответ [11; 12)

Если f(x) и g(x) , одномонотонные, то можно использовать свойства функций:

заметим, что функция y = возрастает на всей области определения, а при x=12 принимает значение, равное 4, следовательно, для 11≤x<12 неравенство будет верным.

18

Используются неравенства о средних:

1.Неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным двух положительных чисел: a > 0, b>0.

Решите неравенство

Заметим, что x = 2 – решение данного неравенства. Заменим левую часть неравенства на большее выражения при x > 2. По неравенству между средним арифметическим и средним квадратичным будем иметь:

.

Последнее неравенство

справедливо только при x =2,поскольку это неравенство является следствием данного, то данное неравенство других решений не имеет.

Решите неравенство

Равенство достигается при условии равенства слагаемых, т.е. 17-x = 15+x, откуда x =1.

19

Использование геометрических моделей

длина отрезка AB, где A(x;y),

B(a;b)

Наименьшее(x+y), где (x;y) решение неравенства

5 ≤ .Геометрическая модель: AB+OB≤ OA . Равенство возможно, если точка A(x;y) принадлежит лучу OA. Наименьшее(x+y) = 4+3 = 7

20

Использовать свойства монотонности функции

y=

Если функции f(x) - g(x) одномонотонны на общей области их определения, то неравенство будет верным для всех значений переменной, из области определения функции, больших (в случае возрастания функций ) и ли меньших ( в случае убывания функций), корня уравнения

>5

Заметим, что число x = 9- корень соответствующего уравнения.

Расмотрим функцию f(x) = (2)

На всей области определения [0; +∞ ) функция возрастает .

Значит x=9 – единственный корень уравнения, а решение данного неравенства промежуток (9;+∞)

№

Задание

Ответы

1

Решите уравнение

1.-1;2.

2. -2;3.

3. -1;4.

4. 4;2.

5. 1;2.

2

Решите уравнение

1.-1;2.

2. -2;3.

3. -1;4.

4. -3;2.

5. 1;2.

3

Решите уравнение

1.-1;

2. 2;

3. -4;

4. 4;

5. 3.

4

Решите уравнение

1.-1;

2. -2;

3.2;

4. 4;

5. 3.

5

Решите уравнение

1.-1;

2. -2;

3. 2;

4. 4;

5. 3.

6

Решите уравнение

1.-1;2.

2. -2;3.

3. -1;1.

4. -3;2.

5. 1;2.

7

Решите уравнение

1.-1;

2. -2;

3. 2;

4. 4;

5. 3.

8

Решите уравнение

1.-1;

2. -2;

3. 1;

4. 4;

5. 3.

9

Решите уравнение

1.

2. -2;

3. ±1;

4. 4;

5. ±3.

10

Решите уравнение

1.-1;

2. -2;

3. 6;

4. 4;

5. 3.

11

Решите уравнение

1.-1/2;2.

2. -2;/2.

3. -1/2;`1/2.

4. -3/2;1/2.

5. 1/2;2.

12

Решите уравнение

1.-1/2;1

2. -2;/2.

3. -1/2;`1/2.

4. -3/2;1/2.

5. 1/2;2.

13

Решите уравнение

1.1;

2. -2;

3. 6;

4. 4;

5. 3.

14

Решите уравнение

1.1;

2. -2;

3. 6;

4. 4;

5. 3.

15

Решите уравнение

1.1;

2. -2;

3. 6;

4. 5;

5. 3.

16

1.1;

2. -2;

3. 6;

4. 4;

5.3.

17

Решите уравнение

1.-1;1;3.

2. 1;-2;3.

3. -1;1;2.

4. -3;2;5.

5. 1;2;5.

18

Найдите наименьший корень уравнения

1.1;

2. -2;

3. 6;

4. 4;

5. -8.

19

Найдите наибольший корень уравнения

1.1;

2. -2;

3. 8;

4. 4;

5. -8.

20

Решите уравнение

1.2400;

2. 2500;

3. 730;

4. 728;

5. 8.

21

Решите уравнение

1.1;

2. -2;

3. 8;

4. -4;

5. -8.

22

Решите уравнение

1.-23/4;-1;1;6

2. 1/4;-2;3;5.

3. -1;1;2;6.

4. -3;2;5;7/4.

5. 1;2;5/4;6.

23

Решите уравнение

1.3;

2. -2;

3. 8;

4. -4;

5. -8.

24

Решите уравнение

1.-109; 80

2. -180;36.

3. 109;90.

4. -109;-80.

5. 100;80.

25

Решите уравнение

1. 2;

2. -2;

3. 8;

4. -4;

5. -8.

26

Решите уравнение

1. 2401;

2.49;

3. 7;

4.27;

5. 125.

27

Решите уравнение

1.

2.-/2+n/2,nZ

3. + n, nZ;

4. +4n, nZ.

5.

28

1. 2;

2. -2;

3. 8;

4. 1;

5. 3.

29

1. 2;

2. -2;

3. 8;

4. -4;

5. -8.

30

.

1. 2;

2. -2;

3. 8;

4. -4;

5. -1.

31

1. 21;

2. -2;

3. 8;

4. -4;

5. 2.

32

1. 4;

2. -2;

3. 8;

4. -4;

5. 2.

33

Найдите наименьший корень уравнения

1. 0,2;

2. -0,2;

3. 1;

4. -0,4;

5.0,4

34

Решите уравнение .

1. 4;

2. -2;

3. 8;

4. 5;

5. 2.

35

Решите уравнение .

1. 4;

2. -2;

3. 8;

4. 5;

5. 2.

36

Решите уравнение .

1. 4;

2. -2;

3. 8;

4. -5;

5. 2.

37

Решите уравнение

1. 4;

2. -2;

3. 8;

4. -5;

5. 2.

38

Решите уравнение

1. 4;

2. -2;

3. 8;

4. -5;

5.1.

39

Решите уравнение

1. 4;

2. -2;

3. 8;

4. -5;

5. 2.

40

Решите уравнение

1. 4;

2. -2;

3. 5;

4. 6;

5. 2.

41

Решите уравнение

1. 4;

2. 6;

3. 8;

4.7;

5. 2.

42

Решите уравнение

1. 4;

2. -2;

3. 8;

4. -5;

5. 2.

43

Решите уравнение

1.1;

2. -2;

3. 8;

4. 4;

5. 2.

44

Решите уравнение

1.0;2.

2. -2;3.

3. -1;1.

4. -3;2.

5. 1;2.

45

Решите неравенство

1.

2.[2;+∞)

3. [-2;2)

4.(-2+∞)

5.[-2;+∞)

46

Решите неравенство

1.

2.[2;+∞)

3. [-2;2)

4.(-2+∞)

5.[-2;+∞)

47

Решите неравенство

1.[-2,5;-2,4]

2.[2,5;+∞)

3. [-2,5;2,4)

4.(- ∞;2/3)

5.

48

Решите неравенство

1.

2.[2;+∞)

3. [-3;2)

4.(-2+∞)

5.

49

Наименьшее целое решение неравенства

1. 4;

2. -2;

3. 3;

4. -5;

5. 2.

50

Решите неравенство

1. ;

2. ;

3. [-3;2)

4.(-2+∞)

5.

51

Решите неравенство

1.[-2,5;-2,4]

2.[2,5;+∞)

3. [-2,5;2,4)

4.(-2,4+∞)

5.

52

Решите неравенство:

1.[1;3]

2.[3;+∞)

3. [-3;2)

4.(-3;+∞)

5.

53

Решите неравенство

1.[1;3]

2.[3;+∞)

3. [-3;2)

4.(-3;+∞)

5. [-1;1]

54

1.

2.[3;+∞)

3. [3;4)

4.(-3;+∞)

5. [1;4]

55

Решите уравнение:

1.1;

2. -2;

3. 8;

4. -5;

5. 2.

56

1.[1;3]

2.[3;+∞)

3. [-3;2)

4.(-3;+∞)

5. [0;4]

57

Решите неравенство

1.[1;3]

2.[3;+∞)

3. [-3;2)

4.(-3;+∞)

5.

58

Решите неравенство

1.

2.-/2+n/2,nZ

3. + n, nZ;

4. +4n, nZ.

5.

59

Решите неравенство

1.[3;+∞)

2. [-3;2)

3.(-3;+∞)

4.

5. [0;4]

60

Решите неравенство

1. [1;2]

2. [1;2]

3.(3;4)

4.

5. [0;4]