§4. Плотность распределения

Плотность распределения f(X)

(дифференциальная функция)

только для непрерывных с.в.

Подсчитаем количество вероятности, приходящееся на единицу длины оси ОХ

Х Х+∆Х

P(x<X<x+∆x)=F(x+∆x)-F(x)

∆F

На единицу длины приходится количество вероятности, равное

Переходя к пределу при получаем:

(6)

плотностью распределения называется первая производная от функции распределения

(7)

1 Количество вероятности приходящееся на элементарный отрезок ∆Х

dF=F¹(x)dx (8) – элемент вероятности

2 Вероятность попадания в заданный интервал

Р(α<X<β)= (9)

S_(α,β)= Р(α<X<β)

3 f(X) – неотрицательная функция (как производная неубывающей функции F(X)

F(x)>=0

4 Основное свойство плотности распределения:

(10)

Если задана плотность, то функция распределения находится по формуле

F(x)=P(X<x)=P(-∞<X<x)= (11)

Примері

Непрерывная с.в. задана плотностью распределения:

f(X) C(X² – 3X) XЄ(0;3)

0 X Є (0;3)

1 Найти С

2 Найти вероятности попадания в заданные интервалы

3 Найти функцию распределения.

1 X(X-3)

f(X)= -2[(x/3)² – x/3] XЄ(0;3)

0. ХЄ(0;3)

2

3

X<0:

0<X<3:

3<x:

F(x)= 0 X<0

0<X<3

1 3<X<

Когда мы проводим наблюдения над случайной величиной, мы можем обнаружить, что одни возможные значения появляются чаще, другие реже. Т.е., у одних значений вероятность появления больше, у других меньше.

П

римеры:

1. Опыт – бросание кубика.

Случайная величина Х – выпавшее число очков.

Возможные значения {1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

2. Опыт – трехкратное бросание монеты.

Случайная величина Х –число выпавших гербов .

Возможные значения { 0, 1, 2, 3 }.

3. Опыт – лекция по теории вероятностей.

Случайная величина Х – число присутствующих студентов.

Возможные значения { 0, 1, 2, …, N }.

4. Опыт – работа банковского служащего в течение часа.

Случайная величина Х – число обслуженных клиентов.

Возможные значения { 0, 1, 2, …, N }.

О3 :Законом распределения вероятностей случайной величины Х (дальше везде будем говорить кратко – Законом распределения) называется всякое правило, устанавливающее соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями того, что она примет эти значения.

Это соответствие можно устанавливать по-разному, в зависимости от того, с какой случайной величиной мы работаем, с дискретной или с непрерывной. Существуют три способа задания закона распределения, которые мы далее по очереди подробно рассмотрим.

Сейчас мы только перечислим их и отметим главное: если закон распределения задан (любым из этих способов) то мы можем прогнозировать поведение случайной величины. Точно предсказать до опыта, какое именно значение примет случайная величина, мы не можем в принципе, но зато мы сможем подсчитывать вероятность того, что она примет то или иное значение, попадет в интересующий нас интервал.

Способы задания закона распределения:

1. Ряд распределения;

2. Функция распределения F(x)

( иногда ее еще называют интегральная Функция распределения)

3. Плотность распределения f(x)

(ее еще называют также дифференциальная Функция распределения )

Следующая схема показывает, когда применяется каждый из этих способов:

Изменить примеры