§4. Функция распределения

Функция распределения (интегральная)

Х

Х

Функцией распределения F(X) называется функция, которая для каждого значения аргумента равна вероятности того, с.в. Х примет значение меньшее, чем аргумент (попадает в область, лежащую слева от аргумента).

F(x)=P(X<x) (3)

Например: Дискретная с.в. задана рядом распределения

ХI	2	4	7	9
PI	0.2	0.4	0.3	0.1

-3 0 2 П 4 6 7 9 12 X

F(-3)=P(X<-3)=0

F(П)=P(X<П)=P(X=2)=0,2

F(12)=P(X<12)=P(V)=1

F(6)=P(X<6)=0,2+0,4=0,6

Свойства функции распределения:

1 область определения: Х Є R

2 область значений: 0<=F(x)<=1

3 F(-∞)=0 [P(X<= -∞)=0]

4 F(+∞)=1 [P(X<=+∞)=P(V)=1]

F(x) неубывающая функция:

X₁<X₂ F(X₁)<=F(X₂)

X₁ X₂ X

(X<x₂)=(X<x₁)+(x₁ <X<x₂)

несовместные

P(X<x₂)=P(X<x₁)+P(x₁<X<x₂)

F(x₂) >= F(x₁) >0

Неубывание доказано.

Следствие: Р(Х₁<=X<Х₂) = F(X₂) – F(X₁) (4)

Замечание: функция распределения F(x) – универсальный способ задания закона распределения. Он пригоден и для дискретных и для непрерывных с.в.. С ростом аргумента Х идет накопление вероятности, т.е. функция F(X) увеличивается. Для дискретных с.в. рост происходит скачком при переходе через очередное возможное значение X_IДля непрерывной с.в. F(X) накапливается непрерывно.

Качественный график функции распределения:

Непрерывная с.в. дискретная с.в.

Замечание к формуле (4)

Пусть с.в. непрерывна и функция F(X) непрерывна.

Найдем вероятность попадания в точку:

P(X=x₁)=

Для непрерывной с.в. вероятность попадания в точку равна нулю P(X=a)=0

Для непрерывной с.в. Р(α<X<β)=F(β)-F(α) (5)

Например: Дискретная с.в. задана рядом распределения

ХI	2	4	5	7
PI	0,1	0,3	0,2	0,4

Найти значения функции распределения в указанных точках. Построить функцию распределения для всех значений аргумента.

F(-3)=P(X<-3)=0

F(П)=Р(Х<П)=0,1

F(2L)=P(X<2L)=0.1+0.3+0.2=0.6

F(8)=P(X<8)=P(U)=1

F(50)=P(X<50)=P(U)=1

-∞<x<+∞

2<x<=2 F(x)=0 F(2)=P(X<2)=0

2<x<=4 F(x)=P(X<x)=P(x=2)=0,1

4<x<=5 F(x)=P(4<X<2)=0,4

5<x<=7 F(x)=0,6

7<x< +∞ F(x)=1

0 при -∞<x<=2

0,1 2<=x<=4

F(X) 0,4 4<x<=5 В точках разрыва

0,6 5<x<=7 значение функции равно

1 7<x<+∞ пределу слева

С.в. задана функцией распределения. Составить ряд распределения.

ХI	1	2	4	6	7	10
PI	0,1	0,2	0,2	0,2	0.1	0.2

Непрерывная с.в. задана функцией распределения

0 -∞<X <=0

F(X) CX² 0< X<=3

1 3< X < + ∞

1 С-?

Найти С из условия непрерывности функции F(X).

2 Найти вероятности попадания в указанные интервалы.

3 Найти плотность распределения f(X).

1 Проверяя непрерывность в т. Х=0 и в т. Х=3:

(Х=0)

F(0)=0

В т. Х=0 функция непрерывна при любом С.

(Х=3)

9c=1

c=1/9

F(3)=c*9

2 Р(-2<X<1)=F(1) – F(2) = (CX²)_X=1 – 0_X=-2 = C = 1/9

Р(0<X<2)=F(2) – F(0) = (CX²)_X=1 – 0 = 4C = 4/9

Р(1<X<5)=F(5) – F(1) =1- (CX²)_X=1 = 1-1/9= 8/9

Р(0.5<X<2.5)=F(2.5) – F(0.5) = (CX²)_X=5/2 – (CX²)_X=1/2 = C(25/4 – 1/4) = 6C =

= 6/9=2/3

Р(2<X<9)=F(9) – F(2) = 1 – (CX²)_X=2 = 1- 4C = 1 – 4/9 = 5/9

Р(X>2.5)=P(2,5<X<+∞) = F(+∞) – F(2.5) = 1 - (CX²)_X=5/2= 1 – 25/4 * 1/9 = 1 – 25/36 = 11/36

3 f(X) - ? f(X) = F¹(X) = 0 -∞<X<=0

2CX = 2X/9 0<X<3

0 3<X<+∞

Для непрерывной случайной величины X задана функция распределения F(x).

Необходимо:

1. Найти значение параметра С из условия непрерывности F(x),

Построить график F(x).

2. Подсчитать вероятности попаданий в указанные интервалы.

3. Найти плотность распределения F(x) и построить ее график.

Рассматриваемая случайная величина непрерывна. При такой функции распределения все ее возможные значения находятся только на интервале (1<x4). Вне этого интервала возможных значений нет.

1. Находим значение параметра С. Используем условие непрерывности

функции распределения F(x).

Чтобы функция была непрерывна, нужно, чтобы предел слева, предел справа и значение функции в точке совпадали.

В точке x=1 : F(1-0)= 0; F(1+0)= 0; F(1)= 0;  функция непрерывна.

В точке x=4 : F(4-0)= С(4-1)³ =27С; F(4+0)= 1; F(4)= 27С;  функция непрерывна, если 27С =1, откуда получаем С=1/27.

График F(x):

2. Находим вероятности попаданий в указанные интервалы :

Если задана функция распределения, то вероятность попадания случайной величины в заданный интервал подсчитывается по известной формуле:

P(-7<X<2) = F(2) - F(-7) = C(2-1)³ - 0 = 1/27.

P(1<X<3) = F(3) - F(1) = C(3-1)³ - 0 = 8/27.

P(2<X<7) = F(7) - F(2) = 1 - C(2-1)³ = 1 - 1/27 = 26/27.

P(X<2,5) = P(-<X<2,5) = F(2,5) - F(-) = C(2,5-1)³ - 0 = 0,125.

P(X>1,5) = P(1,5<X<+) = F(+) - F(1,5) = 1 - C(1,5-1)³ = 0,9954.

P(-4<X<40) = F(40) - F(-4) = 1 - 0 = 1.

В последнем случае все возможные значения случайной величины лежат внутри интересующего нас интервала, поэтому попадание в этот интервал - достоверное событие и вероятность его равна 1.

3. Находим плотность распределения случайной величины X . По определению, это первая производная функции распределения.

f(x) = F^(x).

На разных участках функция распределения задана различными выражениями. Поэтому и производная будет на разных участках различной:

при x  1 f(x) = (0)^ = 0.

при 1<x <4 f(x) = [C(x-1)³]^ = 3C(x-1)² = (x-1)² /9.

при 4<x f(x) = (1)^ = 0.

График плотности распределения:

Когда мы проводим наблюдения над случайной величиной, мы можем обнаружить, что одни возможные значения появляются чаще, другие реже. Т.е., у одних значений вероятность появления больше, у других меньше.

П

римеры:

1. Опыт – бросание кубика.

Случайная величина Х – выпавшее число очков.

Возможные значения {1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

2. Опыт – трехкратное бросание монеты.

Случайная величина Х –число выпавших гербов .

Возможные значения { 0, 1, 2, 3 }.

3. Опыт – лекция по теории вероятностей.

Случайная величина Х – число присутствующих студентов.

Возможные значения { 0, 1, 2, …, N }.

4. Опыт – работа банковского служащего в течение часа.

Случайная величина Х – число обслуженных клиентов.

Возможные значения { 0, 1, 2, …, N }.

О3 :Законом распределения вероятностей случайной величины Х (дальше везде будем говорить кратко – Законом распределения) называется всякое правило, устанавливающее соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями того, что она примет эти значения.

Это соответствие можно устанавливать по-разному, в зависимости от того, с какой случайной величиной мы работаем, с дискретной или с непрерывной. Существуют три способа задания закона распределения, которые мы далее по очереди подробно рассмотрим.

Сейчас мы только перечислим их и отметим главное: если закон распределения задан (любым из этих способов) то мы можем прогнозировать поведение случайной величины. Точно предсказать до опыта, какое именно значение примет случайная величина, мы не можем в принципе, но зато мы сможем подсчитывать вероятность того, что она примет то или иное значение, попадет в интересующий нас интервал.

Способы задания закона распределения:

1. Ряд распределения;

2. Функция распределения F(x)

( иногда ее еще называют интегральная Функция распределения)

3. Плотность распределения f(x)

(ее еще называют также дифференциальная Функция распределения )

Следующая схема показывает, когда применяется каждый из этих способов:

Изменить примеры