4). Записываем функцию распределения для всех значений аргумента X.
При - < x -11 F(x) = P(X<x) = 0 ; (слева от таких значений x нет возможных значений случайной величины)
При -11< x -8 F(x) = P(X<x) = P(X=-11) = 0,3 ; (слева от таких значений x только одно возможное значение , равное (-11) )
При -8<x -4 F(x) = P(X=-11) + P(X=-8) = 0,3 + 0,1 = 0,4 ;
При -4<x -1 F(x) = P(X=-11) + P(X=-8) + P(X=-4) =
= 0,3 + 0,1 + 0,05 = 0,45 ;
При -1<x 2 F(x) = P(X=-11) + P(X=-8) + P(X=-4) + P(X=-1) =
= 0,3 + 0,1 + 0,05 + 0,25 = 0,7 ;
При 2<x 5 F(x) = P(X=-11) + P(X=-8)+ P(X=-4) + P(X=-1)+ P(X=1) =
= 0,3 + 0,1 + 0,05 + 0,25 + 0,1 = 0,8 ;
При 5<x + F(x) = 0,3 + 0,1 + 0,05 + 0,25 + 0,1 + 0,2 = 1 ;
В последнем случае все возможные значения случайной величины лежат слева от аргумента x . Попадание в область (5<x) - достоверное событие.
Таким образом, с ростом значения аргумента x идет процесс накопления вероятности. Окончательно получаем :
Теперь рисуем график функции распределения F(x):
Подсчитываем числовые характеристики случайной величины:
Математическое ожидание m x (оно же среднее значение случайной величины):
Мода - то из возможных значений, которое имеет наибольшую вероятность
m o = -11
У этого значения случайной величины вероятность наибольшая - (0,3).
Дисперсия D x - число, характеризующее разброс возможных значений случайной величины вокруг среднего значения, равного m x . Подсчитываем ее по вспомогательной формуле :
D
x
= 12,07 - (-3,35)2
= 0,8475.
x
Изменить примеры
Записываем пропущенную вероятность. Используем основное свойство ряда распределения :
. Отсюда получаем :
p 3 = P(X=7) = 1 - (0,1+0,2+0,4+0,05+0,15) = 1 - 0,9 = 0,1.
Вписываем это значение в ряд распределения :
|
|
x i |
1 |
3 |
7 |
9 |
12 |
15 |
|
|
p i |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
0,05 |
0,15 |
Подсчитываем вероятности попаданий в указанные интервалы.
P(X=2); это вероятность того, что случайная величина X примет значение, равное 2. Но она может принимать только значения, указанные в таблице : 1, 3, 7, 9, 12 и 15 . Значит событие (X=2) - невозможное, и его вероятность равна нулю : P(X=2)=0 .
P(X=9) = 0,4 ;
P(X<5) ; это вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее 5. Это может произойти в случае, если она примет значение , равное 1 или равное 3 (только эти два возможных значения меньше 5). Таким образом, событие (X<5) можно представить как сумму двух несовместных событий :
(X<5) = (X=1) + (X=3).
Соответственно и вероятность этого события равна:
P(X<5) = P( (X=1) + (X=3) ) = P(X=1) + P(X=3) = 0,1 +0,2 = 0,3 .
Рассуждая каждый раз таким же образом, приходим к выводу, что для дискретной случайной величины вероятность попадания в какую-либо область равна сумме вероятностей тех из возможных значений, которые попадают в эту область:
P(X>8) = P(X=9) + P(X=12) + P(X=15) = 0,4 + 0,05 + 0,15 = 0,6 .
P(4<X<13) = P(X=7) + P(X=9) + P(X=12) = 0,1 + 0,4 + 0,05 = 0,55.
P(10<X<20) = P(X=12) + P(X=15) = 0,05 + 0,15 = 0,2 .
P(X>8) = P(X=9) + P(X=12) + P(X=15) = 0,4 + 0,05 + 0,15 = 0,6 .