§3. Ряд распределения

Составить закон распределения для случайной величины X - числа гербов, выпавших при бросании трех монет.

Случайная величина X - дискретная. Ее возможные значения :

{ 0, 1, 2, 3 }.

Запишем ряд распределения для этой случайной величины, т.е. , каждому из возможных значений сопоставим вероятность того, что случайная величина примет это значение:

p _i = P( X=x _i).

Вероятности будем подсчитывать по классическому определению. Для этого запишем все возможные исходы опыта, заключающего в бросании трех монет.

( герб; герб; герб ) ; ( цифра ; герб; герб ) ;

( герб; герб; цифра ) ; ( цифра ; герб; цифра ) ;

( герб; цифра; герб ) ; ( цифра ; цифра; герб ) ;

( герб; цифра; цифра ) ;( цифра ; цифра; цифра ) .

Общее число исходов опыта равно 8 . Число благоприятствующих исходов для каждого из возможных значений подсчитываем по приведенному списку.

Ряд распределения оформляем виде таблицы :

		x i	0	1	2	3
		p i	1 / 8	3 / 8	3 / 8	1 / 8

Должно выполняться основное свойство ряда : сумма всех вероятностей действительно равна 1 .

Ряд распределения.

(для дискретных с.в.)

Ряд распределения - это перечень возможных значений с.в. и вероятностей этих значений.

Форма представления ряда:

А) таблица

ХI	Х1	Х2		ХN
PI	P1	P2		PN

Р₂=Р(х=х₂)

Б) граик

P_I

P₁

X₁ X_I

В) аналитическая функция: Х: Х₁ Х₂ Х _n p_i=f(i)

Вероятность каждых из этих значений задается одной общей формулой.

Например: с.В. Х – число

ХI	1	2	3	4	5	6
PI	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Х: 1, 2, 3, 4, 5, 6

P_i = 1/6

P_I

1/6

1 2 3 4 5 6

Основное свойство ряда распределения.

События Х=Х₁ Образуют полную группу попарно несовместных

Х=Х₂ событий.

……. Следовательно:

Х=Х_N

Р₁ + Р₂ + … + Р_N = 1 (1)

∑Р_I=1

Например составить закон распределения для суммы очков на двух кубиках:

С.в. Х – сумма очков на двух кубиках (дискретная с.в.)

ХI	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
PI	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

∑Р_I=1

п=36

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

Если закон распределения задан – можно прогнозировать поведение с.в., предсказывать вероятность того, что она попадет в тот или иной интервал.

Например:

ХI	2	5	7	9	11
PI	0,1	0,3	0,3	0,2	0,1

1. Р₃ - ? Р(х=7) = 1-(0,1+0,3+0,2+0,1)=0,3

2. Р(х=3) = 0 = Р(V)

3. Р(х=11)=0,1

4. Р(х<6) = Р((х=2)+(х=5))=Р(х=2)+Р(х=5)=0,4

0 2 5 6 7 8 9 11 х

5. Р(х>8)=Р((х=9)+(х=11))=Р(х=9)+Р(х=11)=0,3

6. Р(П<х<3П)=Р(х=5)+Р(х=7)+Р(х=9)=0,8