Лекции / Лекции по математической статистике / 02_Случайные величины (общая теория) / 06_Числовые характеристики распределений

§6. Числовые характеристики распределений

Числовые характеристики распределения.

Закон распределения полностью определяет с.в. и позволяет прогнозировать ее поведение. Но во многих случаях достаточно знать не весь закон распределения, а только несколько чисел, характеризующих этот закон. Это числовые характеристики распределения.

Характеристики положения:

1 математическое ожидание с.в.;

2 мода;

3 медиана.

Характеристики рассеивания:

1 дисперсия;

2 среднеквадратичное отклонение.

Начальные и центральные моменты:

1 асимметрия

2 эксцесс.

Характеристики положения.

1 Математическое ожидание М[X], m_x

M[X]=m_x= (дискретная с.в.)

(непрерывная с.в.)

Пусть одна дискретная с.в.:

ХI	2	5	7
PI	0,3	0,5	0,2

Найдем среднее из всех возможных значений, причем, с учетом частоты их появлений, разных вероятностей. Такое среднее называется в математике средневзвешенным значением. Это и есть математическое ожидание.

m_x = 0,2*0,3 + 50,5 +7*0,2 = 4,5

Механический смисл математического ожидания

Точка, в которой находится математическое ожидание совпадает с центром масс (центром тяжести) этой системы.

Для непрерывной с.в. m_X совпадает с координатой центра тяжести плоской фигуры, лежащей под плотностью.

Математическое ожидание – это средневзвешенное возможных значений с.в.

11 Мода M₀[X], m₀

Для дискретной с.в. мода – это то из возможных значений, которое имеет самую большую вероятность.

Для непрерывной с.в. мода – это точка максимума на графике плотности.

Одномодальное распределение поли- или многомодальное распределение

Безмодальное распределение

111 Медиана (только для непрерывных с.в.) – это точка на оси ОХ, для которой выполняется равенство

(13)

Вероятность попадания в область, лежащую слева от нее, равна вероятности попадания в область, лежащую справа от нее:

На графике плотности точка медианы делит площадь пополам:

Находится из условий:

1 если задана функция

2 если задана плотность:

Например:

Задана плотность распределения:

f(x) c*sin x Х Є (0; П)

0. Х Є (0; П)

m_X,, m₀, m_e - ?

Замечание: Для симметричного одномодального распределения все три характеристики совпадают с точкой симметрии

Для несимметричного одномодального распределния доказывается, что медиана находится между математическим ожиданием и модой.

Характеристики рассеяния.

ХI	-0,1	0	0,1
PI	0,4	0,2	0,4

ХI	-100	0	100
PI	0,4	0,2	0,4

При одних и тех же средних разброс возможных значений вокруг среднего может отличаться.

Центрированной с.в. называется разность:

(14)

Фактически это означает, что начало координат переносится в точку математического ожидания.

Дисперсией с.в. Х называется математическое ожидание квадрата центрированной с.в.

(15)

Это среднее значение квадратов отклонений возможных значений от m_X.

(Дополнение к математическому ожиданию):

Свойства математического ожидания:

0. М[C]=0

1. M[C*X]=C*M[X]

2. M[X+Y]=M[X]+M[Y]

3. M[X*Y]=M[X]*M[Y] (только для независимых с.в.)

С.в. называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения принимает другая.

Теорема. Математическое ожидание центрированной с.в. равно нулю

M[]=0 (16)

, т.д.

Вспомогательная формула для подсчета дисперсии:

(17)

Доказательство.

, т.д.

Расчетные формулы:

Д_Х (дискретная с.в.) (18)

(непрерывная с.в.)

по вспомогательной формуле

М[X²] = (19)

Математическое ожидание любого варьирования, зависящего от Х, подсчитывается по общему правилу:

(20)

Например:

ХI	2	3	7
PI	0,2	0,7	0,1

по вспомогательной формуле:

M[X²]=2²*0.2+3²*0.7+7²*0.1=0.8+6.3+4.9=12

Д_Х = 12-(3,2)²=1,76

По определению:

Д_Х = (2-3,2)²*0,2+(3-3,2)²*0,7+(7-3,2)²*0,1=1,76

Свойства дисперсии:

0. Д[C]=0

1. Д[CX]=C²Д[X]

2. Д[X+Y]= Д[X]+ Д[Y] (только для независимых с.в.)

3. Д[X-Y]= Д[X] + Д[Y]

Доказательства

2

3 Д[Х+У] = М (Х+У)² – М(Ч+У)² = М Х² + 2ХУ + У² – (m_X + m_Y)² = M[X²] - + 2M[XY] – 2

4 Д[X-Y]=Д[X+(-1)*Y]=Д[X]+Д[X]+Д[(-1)Y]=Д[X]+Д[Y]

Например: Найти мат. Ожидание и дисперсию для суммы числа очков на 3 кубиках.

1 способ: с.в. Х – сумма очков на 3 кубиках

ХI	3	4	5			18
PI	1/63	1/63				1/63

Д_Х

11 способ: X=X₁+X₂+X₃

X_i – число очков на I кубике

ХI	1	2	3	4	5	6
PI	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

для 1 кубика

M[X²] = 1/6(1+2² + 3² + 4² + 5² + 6²) = 91/6

Д[X] = M[X²] -

M[X] =M[X₁+X₂+X₃]=M[X₁]+M[X₂] + M[X₃]7/2 + 7/2 + 7/2 = 21/2

Д[X]=Д[X₁+X₂+X₃]=Д[X₁]+ Д[X₂] + Д[X₃] = 3*35/12= 35/4

Среднеквадратическое отклонение

(22)

имеет ту же физ. Размерность, что и с.в. Х.

Свойства

1

2

3 ()

Начальный и центральный моменты.

Начальный момент К-го порядка называется мат ожиданием от Х^К

Расчетные формулы:

(24)

Центральным моментом К-того порядка называется

(25)

Асимметрия характеризует симметричность распределения относительно мат. ожидания

(26)

Эксцесс

(27)

Нормальное распределение Е_Х=0

Эксцесс харатеризует островершинность или плосковершинность распределения (по сравнению с нормальным).

Когда мы проводим наблюдения над случайной величиной, мы можем обнаружить, что одни возможные значения появляются чаще, другие реже. Т.е., у одних значений вероятность появления больше, у других меньше.

П

римеры:

1. Опыт – бросание кубика.

Случайная величина Х – выпавшее число очков.

Возможные значения {1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

2. Опыт – трехкратное бросание монеты.

Случайная величина Х –число выпавших гербов .

Возможные значения { 0, 1, 2, 3 }.

3. Опыт – лекция по теории вероятностей.

Случайная величина Х – число присутствующих студентов.

Возможные значения { 0, 1, 2, …, N }.

4. Опыт – работа банковского служащего в течение часа.

Случайная величина Х – число обслуженных клиентов.

Возможные значения { 0, 1, 2, …, N }.

О3 :Законом распределения вероятностей случайной величины Х (дальше везде будем говорить кратко – Законом распределения) называется всякое правило, устанавливающее соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями того, что она примет эти значения.

Это соответствие можно устанавливать по-разному, в зависимости от того, с какой случайной величиной мы работаем, с дискретной или с непрерывной. Существуют три способа задания закона распределения, которые мы далее по очереди подробно рассмотрим.

Сейчас мы только перечислим их и отметим главное: если закон распределения задан (любым из этих способов) то мы можем прогнозировать поведение случайной величины. Точно предсказать до опыта, какое именно значение примет случайная величина, мы не можем в принципе, но зато мы сможем подсчитывать вероятность того, что она примет то или иное значение, попадет в интересующий нас интервал.

Способы задания закона распределения:

1. Ряд распределения;

2. Функция распределения F(x)

( иногда ее еще называют интегральная Функция распределения)

3. Плотность распределения f(x)

(ее еще называют также дифференциальная Функция распределения )

Следующая схема показывает, когда применяется каждый из этих способов:

Изменить примеры